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《解拉格朗日方程的技巧》

来源:互联网收集 日期:2018-01-19 10:17:25 分类:主持词范文 阅读:
范文壹:拉格朗日乘数法中方程组的解法

ValueEngineering・211・

拉格朗日乘数法中方程组的解法

TheSolutionsoftheEquationsinLagrangeMultiplierMethod

孔祥凤KongXiangfeng

(西安邮电学院理学院,西安710121)

(Xi'anInstituteofPostsandTelecommunicationsCollegeofScience,Xi'an710121,China)

摘要:拉格朗日乘数法依ji值必要条件得到的方程组壹般都是非线性的。本文主要介绍此类方程组的解法.

Abstract:Inthepaper,theskillsisintroducedhowtosolvethenonlinearsolutionsinhgrangemultipliermethod.

关键词:拉格朗日乘数法;条件ji值;非线性方程组

Keywords:Lagrangemultipliermethod;conditionalextremevalue;nonlinearsolutions

中图分类号:G42文献标识码:A文章编号:1006--431l(2011)27-021l-ol

0引言因x>0,y>0,z>0,两式相除,得y=x。

利用拉格朗日乘数法求条件ji值,依ji值必要条件得到的方程同理,得y=z,从而,得x=y=z。再代入(4),得x--y=z=3a。

组壹般都是非线性的。解法的难度和技巧较高,需视具体方程组的解法三:先解出入,把(4)代入(8)式,得入=3axyz

特征采用特殊的处理方法。下面举例说明常见的解题技巧和方法。再把入分别代入(1),(2),(3),得x=y=z=3a。

1拉格朗13乘数法中方程组的解法解法四:从目标函数的构成及约束条件看,三个变量x,Y,z呈例1求函数u=xy。在下列约束条件下的ji值上+上+上鼍上现轮换对称性,因此必然有x---y=z,再代入(4),得x=y=z=3a

xYza例2抛面z_--x2+y2被平面x+y+z=l截成壹个椭圆,求坐标原

(x>O,y>O,z>O,a>Oo点与这个椭圆的好长与好短距离。

解:设L(x,y,z,X)=xyz+入(}+}+}壹}).解:椭圆上的任壹点M(x,Y,z)到原点的距离为d=、/≯再葺万I・=yz壹争=o(1)于是问题就是求目标函数d=、/罩巧耳歹在约束条件Z_--x2+y2和

x+y+z=1下的ji值。设L=x2+y2+z2+入(x2+y乙z)+“(x+y+z壹1)

b磁壹≥=0(2)k=2x+2xh+B--O(9)

令(10)

LI=xy壹≥=0~=2y+2yk+8--O

(3)令{L,=2z-^,+13=0(11)

k:上+上+上壹上=o(4)k=x+y-z--O【12)

‘xYza

下面仅就此方程组的解法进行讨论,不具体求ji值。L。;x+y+z壹1=0(13)

解法~:前三个方程都乘以相应缺少的变量,得(9)壹(10),得(1+k)(x—Y)=o

册蔓:O(5)解之得入壹1或x---y,代入(9),得13--o

X再把x壹1和13=o代入(11),得z-壹}

xvz壹生:O二

(6)

Y由(12),知z≥O,故入=壹l应舍去。

xyz壹生=0(7)再把x=y代入(12),得z=2xz,

上+上+上壹上卸(8)代入(13)。得2x2+2x—I--0解得x:i尝,

xYza

(5)+(6)+(7),得3xyz壹入(}+丁1+})=o,则z:2f下-I±VT二

,2

、二,l=2千-V3-。

把(8)代入得,xyz=丢,即得两个驻点Mm-1±V-f.,二廷2:坚卫,2干、/丁)。

再分别把它们代入(5),(6),(7)得x=y=z=3a。故它们就是所求的好近点和好远点,故

解法二:把(1),(2)改写为yz.≥,xz=争,d=V9—5订,d。=V9+sv3-。

参考文献

作者简介:孔祥凤(1975壹),女,山东菏泽人,硕士,任职于西安邮电学院理学【l】华东师范大学数学系主编.‘数学分析>(下).北京.高等教育出版社,

院,讲师。2001.1t话壹168.

到学生像壹线教师的尊重程度,因此在和学生接触的时候ji易产生施,从而提高机房计算机的利用率和完好率,使机房理和维护壹些摩擦,就要求机房理人员要换位思考,对学生要有耐心,在不进入良性循环,为提高计算机教学质量提供更好的硬件环境和软件伤害他们自尊、不用语言侮辱他们人格的前提下,用机房规章制环境。

度约束他们,培养他们良好的上机习惯,教育他们懂得尊重他人的参考文献

劳动、同时做到在公共场合诠释当代大学生的素质。为大家创造壹【l】全高校实验工作研究会.实验教学与刨新能力【M】.南京:南京大个和谐的实验场所,使大家在机房里保持舒畅的心情进行上机实验。学出版社,2000,5.

总之,提高机房理人员的自身素质将有助于提高计算机基础【2】何守才主编.计算机机房工作实用大全【M】.北京:清华大学出版社,教学和其他有关计算机课程的教学质量,对相关课程的教学改革将1.998,2.

起到积ji地推进作用。作为机房理人员只有不断学习、不断更新【3】程桂珠李悦璞主编.计算机房工程设计与施工【M1.jt京:人民邮电出

版社,1997,2.

知识、优化知识结构、提高自身的技术水平才能适应当今这个迅猛【4】瓮正科计算机维护技术[M】.北京清华大学出版社,1999,(5).发展的信息时代,同时还要强化服务意识、提高机房理水平。只【5】李美梅.微型计算机常见故障及维护【M】.北京:电子出版社。要我们认真总结探索,就会发现很多提高机房人员素质的可行措199l。(9).

万方数据

拉格朗日乘数法中方程组的解法

作者:

作者单位:

刊名:

英文刊名:

年,卷(期):孔祥凤, Kong Xiangfeng西安邮电学院理学院,西安,710121jz工程Value Engineering2011,30(27)

1. 华东师范大学数学系 数学分析(下) 2001

1. 许爽爽. 马芳 拉格朗日乘数法在经济学中的应用[期刊论文]-大众科技2010(11)

2. 骆庆仁 草原资源的好优利用控制[期刊论文]-经济研究导刊2011(5)

3. 梯度收缩法在局放电定位中的应用[期刊论文]-计算机工程与应用2009,45(29)

4. 杨利辉. YANG Li-hui 拉格朗日乘数法在几何中的几点应用[期刊论文]-成都纺织高等专科学校学报2008,25(3)

5. 戴晓娟. 张启敏. Dai Xiaojuan. Zhang Qimin 随机种群扩散系统好优边界控制的充分必要条件[期刊论文]-宁夏大学学报(自然科学版)2009,30(1)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_jzgc201127147.aspx

范文二:拉格朗日方程

专题

拉格朗日方程 Lagrange’s equations

2012年5月25日 Friday

理论力学CAI

1

§1. 动力学普遍方程

(The general equation of dynamics)

由n个质点组成的理想约束的系统。根据达朗贝尔原理,有

Fi  FNi  FIi  0 (i  1,2,  , n)

令系统有任意壹组虚位移:

δri (i  1,2,  , n)

代入虚功原理,得到动力学普遍方程:

 (F  m a )  δr  0

i 1 i i i i

n

(i  1,2,  , n)

 (( F

i 1

n

xi

 m i i )δ x i  ( F yi  m i i )δ y i  ( F zi  m i i )δ z i )  0 x y z

2012年5月25日 Friday

理想约束条件下,质点系在任壹瞬时所受的主动力和虚加的 惯性力系在虚位移上所作虚功之和等于零。

理论力学CAI 2

例16-1

滑轮系统,绳子和滑轮的重量不计,忽略摩擦。重m1,m2,求 m2下降的加速度。

解: 为壹自由度系统

取系统为研究对象,系统具有理想约束。 设重m2下降的加速度a2,其虚位移为 s2 a δs2 a1  2 δs1  2 2 系统施加惯性力 由动力学普遍方程:

δ W  ( m 2 g  m 2 a 2 ) δ s 2  ( m 1 g  m 1 a 1 ) δ s1  0

m2a2 a2 s2 m1g m2g

a1 s1

m1a1

2012年5月25日 Friday

a2 

4m2  2m1 g 4m2  m1

理论力学CAI

3

§2 拉格朗日方程

1. 两个拉格朗日关系式

由n 个质点组成的系统,系统具有s 个理想的、且为完整的 约束,系统的广义坐标数为 f =3n-s 。第i个质点的位矢为:

ri  ri (q1 , q2 ,  , q f , t ), i  1,2,  , n

两边对时间t 求导

 ri 

f

j 1

 ri r j  i q q j t

 上式两边再对 q j 求偏导得

  ri  ri   q j q j

即,任壹质点的速度对广义速度的偏导数等于其矢径对广义坐标的偏 导数,称为第壹个拉格朗日关系式。

2012年5月25日 Friday 理论力学CAI 4

 ri  ri   t

f

f

j 1

 ri  qj q j

 2 ri  qj q jq a

对任意壹个广义坐标qa求偏导数

  ri  2 ri   q a  t q a

j 1

f  2 ri  2 ri   d ri    qj    q a  d t   q a  t j 1  q a  q j

交换求导次序,先将位矢对任意壹个广义坐标qa求偏导数,再对 时间求导数,则得到 f  2 ri  2 ri d   ri      q   q t   q q q j dt  j 1 a  a a j 位矢交换求导次序后相等

d dt

2012年5月25日 Friday

  ri   q j 

     ri  q j 

任壹质点的速度对广义坐标的偏导数等于 其矢径对广义坐标的偏导数,再对时间的 壹阶导数,称为第二个拉格朗日关系式。

理论力学CAI 5

2 拉格朗日方程

由动力学普遍方程

 ( F  m a )  δr  0

i 1 i i i i

n

(i  1,2,  , n)

第i 个质点的位矢 第i 个质点的虚位移 代入动力学普遍方程:

ri  ri (q1 , q2 ,  , q f ,t ), i  1,2,  , n

δ ri 

f

j 1

 ri δq j , q j

i  1, 2 ,  , n

 (F  

i 1 i

n

f

j 1

f  ri  ri  m iai   )δq j  0 q j j 1  q j

( i  1, 2 ,  , n ; j  1, 2 ,  , f )

2012年5月25日 Friday 理论力学CAI 6

 (F  

i 1 i

n

f

j 1

f r  ri  mi a i   i )δq j  0 q j j 1  q j

( i  1, 2 ,  , n ; j  1, 2 ,  , f )

改变求和次序,动力学普遍方程变为: f  n n  ri   ri 1   Fi   q   ( m i a i )   q δ q j  0 j   i 1 i 1 j j    ( j  1, 2 ,  , f ; i  1, 2 ,  , n )

n  ri   Q j   ( mi ai )  q δq j  0 j 1  i j    f

 Q

f

2012年5月25日 Friday

j 1

j

 Q Ij δq j  0

理论力学CAI 7

广义惯性力

n  dri ri ri  2 ri  2 ri   ri )    mi (  ) Q Ij    ( mi    ri  ri  d t q j q j q j t q j t i 1 i 1 n n  dri ri  2 ri  2 ri   )   mi ri   ri     mi (  d t q j q j t q j t i 1 i 1 n

n  ri d n d r i  i  ( i ) Q Ij   (  m i r )   mi r q j d t i 1 dt q j i 1

又有两个关系式:



  d r r   (  m i ri  i )   m i ri  ( i )  d t i 1 q j q j i 1

n n

  ri  ri   q j q j

d dt   ri   q j       ri  q j 

n n m i v i2 m i v i2 d   ( ) ( )   j i 1 2 dt q  q j i 1 2

系统动能

mi vi2 T  2 i 1

n

  ri  ri  vi2

d T T  QIj    dt q j q j

理论力学CAI 8

广义惯性力写成动能的函数

2012年5月25日 Friday

将广义惯性力代入动力学普遍方程

f

j 1

 d T T Qj  ( )   dt q j q j  

 δ q j  0  

对于完整约束系统,由于qj 的独1立性, qj (j=1,2,…,f ) 不可能全为零,于是得到

d T T Qj  ( ) 0  dt q j q j

( j  1,2 , ,f )

此即拉格朗日方程。为二阶常微分方程组。

2012年5月25日 Friday 理论力学CAI 9

保守系统的拉格朗日方程

如果作用在系统上的主动力都是有势力,根据有势力的 广义主动力 拉格朗日方程变为

Qj  

V q j

( j  1,2 , ,f )

T V d T 0   ( )  q j q j dt q j

而且

V V=V (q1 , q2 ,  , q f ),  0,  q j

拉格朗日方程可写成

V V T d T ( )-( ) =0 - -   q j q j dt q j q j

2012年5月25日

Friday 理论力学CAI 10

保守系统的拉格朗日方程

d T V V T - - ( )-( )=0   dt q j q j q j q j

引入拉格朗日函数(又称为动势)

L=T-V

得到主动力为有势力的拉格朗日方程

d L L ( )  0  dt q j q j

2012年5月25日 Friday

( j  1 ,2 , ,f )

理论力学CAI

11

§3 拉格朗日方程应用

拉格朗日方程是解决完整约束系统动力学问题的普 遍方程,它式简洁,便于计算,广泛应用于复杂系统 的动力学问题。 应用拉格朗日方程的壹般步骤: 1. 判断约束是否是完整系统。 2. 确定系统的自由度,选择合适的广义坐标。 3. 写出系统的动能、广义力。 4. 将动能、广义力代入拉格朗日方程。

2012年5月25日 Friday 理论力学CAI 12

例题16-7

试用拉格朗日方程建立滑块-单摆 系统的运动微分方程。

mA

O x

A

vA x

解: 此题研究对象为二自由度系统。

以滑块A的坐标x和摆的摆动角度 作为广 义坐标。主动力为有势力。 则滑块速度 摆的速度

l B

 vA  x

2  2    v B  x 2  l   2 xl cos 

mB

则系统的动能为

1 1 2 2 T  m Av A  m B vB 2 2 1 1   2  m B l l  2  2 x  cos    (m A  mB ) x 2 2

理论力学CAI 13

2012年5月25日 Friday

系统的动能 T  1 ( m  m ) x 2  1 m l l  2  2 x  cos      A B B 2 2 以过A的水平面重力的零势能面,则系统的势能为:

V  mB glcos

拉格朗日函数

L  T V 1 1   2  m B l l  2  2 x  cos   m B gl cos    (m A  m B ) x 2 2

2012年5月25日 Friday

理论力学CAI

14

拉格朗日函数 1 1 2    L  ( m A  m B ) x  m B l l  2  2 x  cos    m B gl cos  2 2

求偏导

L    mA  mB x  mBlcos  x L    m B l 2  m B l x cos   

代入保守系统的拉格朗日方程

L  0 x L   m B l x  sin   m B gl sin  

d L L ( ) 0  dt q j q j

( j  1,2, , f )

系统的运动微分方程:

   m A  m B   m B l cos    2 sin   0 x   x  l   cos   g sin   0

2012年5月25日 Friday

此为滑摆的运动微分方程

理论力学CAI 15

例题

与刚度为k 的弹簧相连的滑块A,质量为m1,可在光滑 水平面上滑动。滑块A上又连壹单摆,摆长l , 摆锤质量 为m2 ,试列出该系统的运动微分方程。

2012年5月25日 Friday

理论力学CAI

16

解:

将弹簧力计入主动力,则系统成为具有完整、理想 约束的二自由度系统。保守系统。取x ,  为广义坐标, x 轴 原点位于弹簧自然长度位置,  逆时针转向为

正。

2012年5月25日 Friday

理论力学CAI

17

2   v B  x 2  l 2 2    2 x l  cos 

系统动能:

2 T  1 m1 x 2  1 m2 v B  1 m1 x 2  1 m2 ( x 2  l 2 2  2 xl cos  )       2 2 2 2  1 ( m1  m2 ) x 2  1 m2l 2 2  m2 xl cos      2 2

2012年5月25日 Friday

理论力学CAI

18

系统势能:(以弹簧原长为弹性势能零点,滑块A所在平面重力势能零点

1 2 V  kx  m2 glcos 2

拉格朗日函数:

L  T V 1 1 1   2  m2l 2 2  m2 xlcos  kx 2  m2 glcos    ( m1  m2 ) x 2 2 2

2012年5月25日 Friday

理论力学CAI

19

L  T V 1 1 1 2 2 2 2      ( m1  m2 ) x  m2l   m2 xlcos  kx  m2 glcos 2 2 2

L L    ( m1  m2 ) x  m2 lcos  ,   kx  x x

d L    ( m1  m2 )  m2lcos   m2l 2sin  x  d t x

2012年5月25日 Friday

理论力学CAI

20

L  T V 1 1 1 2 2 2 2      ( m1  m2 ) x  m2l   m2 xlcos  kx  m2 glcos 2 2 2

L    m2l 2  m2 xl cos  ,  

L    m2 xl sin   m2 gl sin  

d L    ( )  m2l 2  m2 l cos   m2 xl sin  x  dt 

2012年5月25日 Friday

理论力学CAI

21

代入:

d L L ) 0 (  dt q j q j ( j  1,2,  , f )

系统的运动微分方程

   ( m1  m 2 )   m 2 l cos   m 2 l  2 sin   kx  0 x   x  cos   l   g sin   0

2012年5月25日 Friday

理论力学CAI

22

例题:双质点摆动力学方程

壹双质点摆,摆球 的质量分别为m1与m2 ,摆长分别为l1与l2 。试 建立该系统的运动微分方程。

解: 系统为2自由度系统,建立坐标系如图。

选广义坐标为1,2,取O点为零势能点。 则A、B点的速度:

A

B m1g m2g

 v1  l11

    v2  (l11 )  (l2 2 )  2l1l21 2 cos( 2  1 )

2 2 2

系统动能为:

1 1 2 2 T  m1v1  m 2 v2 2 2 1 1   2    m1l1212  m2 [l1212  l22 2  2l1l 21 2 cos( 2  1 )] 2 2

2012年5月25日 Friday 理论力学CAI

23

系统势能为:

V1  m1 gl1 cos 1

V2  m2 g (l1 cos 1  l2 cos  2 )

拉格郎日函数为:

L  T  V1  V 2  1 1      m 1 l12  12  m 2 [ l12  12  l 22  22  2 l1 l 2  1 2 cos(  2   1 )] 2 2  m 1 gl 1 cos  1  m 2 g ( l1 cos  1  l 2 cos  2 )

代入拉格郎日方程

L d L ( ) 0  dt qi qi

2012年5月25日 Friday 理论力学CAI 24

求偏导

L    ( m1  m2 )l121  m2 l1l2 2 cos( 2  1 )   1

L    m 2 l

22  2  m 2 l1 l 2  1 cos(  2   1 )   2

L    m 2 l1l 2 1 2 sin(  2   1 )  ( m1  m 2 )l1 g sin  1 1 L     m 2 l1l 2 1 2 sin(  2   1 )  m 2 l 2 g sin  2  2

得双质点摆运动微分方程为:

   ( m 1  m 2 ) l12 1  m 2 l1 l 2 2 cos(  2   1 )  2   m 2 l1 l 2  2 sin(  2   1 )  ( m 1  m 2 ) l1 g sin  1  0  2    m 2 l 2 2  m 2 l1 l 2 1 cos(  2   1 )   m l l  2 sin(    )  m l g sin   0  2 1 2 1 2 1 2 2 2 

2012年5月25日 Friday 理论力学CAI 25

文三:拉格朗日方程

拉格朗日方程:对于完整系统用广义坐标(是用来描述系统位所需要的独1立参数,或者好少参数)表示的动力方程,通常系指第二类拉格朗日方程,是法数学家J.-L.拉格朗日shou先导出的。

通常可写成:

[1]

式中T为系统用各广义坐标qj和各广义速度妜j所表示的动能;Qj为对应于qj的广义力;(与 广义坐标 q i 对应的力 )N(=3n-k)为这完整系统的自由度;n为系统的质点数;k为完整约束方程个数。

完整系的拉格朗日方程

从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程,而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程,将这两者结合起来,便可得到不含约束力的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现式。

完整系的拉格朗日方程

拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程,也可以用来在给定系统运动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。如果要想求约束力,可以将拉格朗日方程与动静法或动量定理(或质心运动定理)联用。

拉格朗日力学

通常,我们将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学(也称矢量力学),将拉格朗日方程及建立在此基础上的理论称为拉格朗日力学。拉格朗日力学通过位空间描述力学系统的运动,它适合于研究受约束质点系的运动。拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的壹些问题的过程中起了重要的作用。

将动静法与虚位移原理结合,就得到了动力学普遍方程:受理想约束的质点系

将上式代入系统的动能表达式

在运动过程中,其上所受的主动力和惯性力在质点系的任何虚位移上所做的虚功之和为零。

动力学普遍方程尽被称之为方程,但在实际应用时,我们更应将它视为壹个原理:动力学普遍原理,它指导我们列写动力学方程。

如果你能熟练应用虚位移原理,则动力学普遍方程的应用将是壹个很熟识的过程:在考虑系统的主动力的同时再加入系统的惯性力,然后对该力系应用虚位移原理

在实际应用中,当加入系统的惯性力时,常常要补充运动学方程:系统的速度、加速度之间的关系。

广义力为

运用动力学普遍方程建立的独1立的动力学方程的个数等于系统的自由度,这壹点也是与虚位移原理相同。

壹般而言,如果要建立系统在特殊位置的动力学关系,可以考虑应用动力学普遍方程。如果要建立系统在任意壹般位置的动力学关系,则应考虑应用拉格朗日方程。

编辑本段拉格朗日方程

拉格朗日方程的壹般式是:

式中T为用各广义坐标qi和广义速度 qi导 表示的系统的动能;Qi为对应qi的广义力。方程式的个数等于系统的自由度N。保守系统中存在势函数V(q1,q2,…,qN;t),则广义力距Q=?V/?qi,又因V中不含qi,即?V/?qi=0,

故完整保守系统的拉格朗日方程为:

系统以B点为标准的势能V和系统的动能T为

d/dt(?L/?qi)-(?L/?qi)=0(i=1,2,…,N)

在非保守体系中,广义力不能用Q=?V/?qi表示,此时应引入广义势能U的概念,Q=?U/?qi-d/dt x?U/(dqi/dt).带入壹般式可以得到非保守体系的拉格朗日方程。

式中L=T-U为拉格朗日函数,它等于系统的动势T与位势U之和。上式与变分问题中的欧拉方程式相同,由此可导出哈密顿原理

范文四:拉格朗日方程

学 年 论 文

题目:

光电效应的应用

学 生: 张韩佩 学 号: [1**********]4 院 (系): 理学院 专 : 应用理学 指导教师: 罗道斌

2014 年 11月15日

目录

要......................................................... 关键字.....................................................

Abstract……………………………………………………………1 Key Words…………………………………………………………1. 1引言………………………………………………………………1 2 光电效应的概念……………………………………………1 3光电效应的实验规律………………………………………..2 4光电效应和经典理论的矛盾处……………………………….5 5光电效应的科学释…………………………………………………7 6光电效应在近代技术中的应用.......................... 6.1常用的光学器件............ 6.2常用光学器件的检测 7结束语

参考文献………………………………………………………7

光电效应的应用

理121: 指导教师:罗道斌 (陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021)

摘要

本文介绍了光电效应的发现及其发展,简要叙述了爱因斯坦的光量子假说对光电子效益的解释及

其通过实验来验证了爱因斯坦的光量子假说对光电效应解释的正确性,并介绍了光电效应在现代科学技术中的应用。

关键字:光电效应;光量子;频率;相对论

The Use Of The Lagrange Equation To Balance

Abstract: By Lagrange's equations pushed to this article, and can cause the ap -plication of t

he balanced system set out to illustrate the Lagrangian of the feasibility and ease of application of the balanced system, and illustrates a more typical issues and ways to solve the problem.

Key Words: Lagrange; balance; binding; generalized coordinates

1引言

牛顿运动力学[1]作为描述体运动的重要方程大家都有了解,但本文介绍的拉格朗日方程,在力学体系特别是动力学体系有着举足轻重的地位,同时在平衡问题上也发挥了壹定的作用,本文将带大家了解并熟悉这壹方程,和它在平衡问题上的运用.

2拉格朗日简介

拉格朗日方程 Lagrange equation 从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程,而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程,

将这两者结合起来,便可得到不含约束力的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现式。 拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程,也可以用来在给定系统运动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。如果要想求约束力,可以将拉格朗日方程与动静法或动量定理(或质心运动定理)联用。 通常,我们将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学(也称矢量力

3拉格朗日方程的推导

拉格朗日方程的判定是由其坐标的性质决定的。直接有广义坐标所表示的方程就是拉格朗日方程[2]。我们常以q来表示广义坐标,而壹个系统所拥有的广义坐标个数是由系统的自由度和约束条件所确定,壹般满足s=3n-k(其中那位所含体的个数,k是系统的约束条件个数,s是广义坐标个数)。

当确定了广义坐标后,该系统的

体位置即可表示为:

程[3]中的

(1) 利用上式将达朗贝尔

用广义坐标表示出来就可得到拉格朗日方程,推导如下: 由(1)式得

(2) 将(2)式代入达朗贝尔

方程得: (3)

化简(3)式得:要使(4)式成立则

系数为0即:

(4)

或写为

(5)

(6)

其中我们把式如下:

称作广义力,即由广义坐标所表示的系统所受合力的量,为方便计算,我们降介(6)

(7)

又有(1)式中知道

于是可以用广义坐标表示出系统的动能T

(8)

(9)

由(8)和(9)式得出T

对和的导数 : (10)

再将(10)和(11)式代入到(7)式即可得到

(11)

(12)

其中我们就把(12)式称作理想完整体系的普遍拉格朗日方程,也就是壹般方程,就是我们所求的好终方程,但由于在理论基础上我么通常所求的系统壹般都是保守力,所以壹般方程就可以进行壹定的变换。即我们可以把保守力用

-来表示,那么广义力

可表示如下:

(13)

将其代入(12)式可得

(14)

我们令

有V为保守力能量即势能,则只与

和t有关则(14)式可改写

(15) 则(15)式就是理想完整条件下所

受力是保守力[4]的拉格朗日方程,也就是我们在研究基础理论常要用到的方程。 当然为方便期间,当系统即有保守力又有非保守力时我们可以把非保守力用格朗日方程为:

表示出来则又有拉

(16) 有以上推导过程可知道拉格朗日方

程是描述体运动的动力学方程[5],即是另壹种标量式的动力学方程,就这壹方面而言,他比牛顿的矢量描述在计算上要简单的多。

4体平衡上的应用

4.1平衡体系中拉格朗日的特殊

作为动力学的拉格朗日方程[6]为何可以在平衡问题上加以运用,很明显,平衡也是壹种运动的状态,所以可以运用拉格朗日方程,有

这个式子我们知道,当体处于平衡状态时,他的速度唯

壹恒定值,也就是说是T个常数则在这种情况下,拉格朗日方程可以变为下式:

(17)

(18)

也就是说只需要知道系统所受的保守力的势能广义坐标表达式分方程就可以求出系统的位移表达关系式。同时根据

向。

(19) 可得出系统所受约束力的大小和方

,然后代入(18)式解微

4.2实例

下面举壹个实际的例子来说明拉格朗日方程在平衡问题[7]的运用。 如图1长度都为l的的轻棒四根,光滑的连成壹个菱ABCD.AB、CD两边支于同壹水平线上相距为2d的两个钉子M和N上.BD间用壹根绳联接,C点系壹重量P,设A点的顶角为

,求绳中的张力TF。

图1 轻棒连成菱图 图2 轻棒成菱受力分析图

解:本题所求的式体系平衡时的约束力[8]。拉格朗日方程不能求约束力。但我们把欲求的约束力看成主动力,而把相应的约束力解除,增加壹个自由度,则仍可以用拉格朗日方程来求体系平衡时的约束力。本题中将BD间的绳去掉,同时加上壹对主动力TF来表示,如图2,此图中的自由度为1,则取顶角为广义坐标,则有

(22) 将数值代入(17)式得

(23) 好后可求的TF的值

(24)

就得出了应求的值。

5结论

就以上所介绍的过程我们发现,拉格朗日方程是求受变化的力即主动力的作用下的体系的运动方程[9],似乎不适合对于平衡力的运用,但我们又同样知道力的平衡其实相当于两个或多个主动力之间的壹种特殊关系,而运动方程则是描述体在某壹时刻的运动状态,当然也包括了主动力的平衡这壹特殊情况。根据这壹思路,我们可以把平衡时所受的约束力解放成主动力,列出拉格朗日方程,求得运动方程,然后再加上约束条件求解。这种等效转换[10]的思想是我想要强调的,也是要在本文所体现的壹种思想。

当然对于平衡条件下的情况有好多种,壹些其他的论文有所阐述,这里不再赘述。

参考文献

[1] 金尚年,马永利,等.《理论力学》第二版[M].北京:高等教育出版社,2001: [2] 赵晓婷.拉格朗日方程在力学中的应用[J].江西电力职工大学学报,2001 . [3] 张玲.拉格朗日方程与牛顿方程之比较[J].高师学报,2003.

[4] 娄智美.质心系中的基本式的拉格朗日方程及其应用[J].大学理学报,2006. [5] 养丽,璋奇,马岗.拉格朗日方程在点的运动分析中的应用[J].华北电力大学学 报,2000. [6] Torby

Bruce

Advanced Dynamics for Engineers

United States of America

,:

HRW Series in Mechanical Engineering[M]

CBS College Publishing,1984:269

范文五:拉格朗日方程

航天学院

田浩

dongda@hit.edu.cn

2015年5月25日星期壹

内容提要

 (F  m r )  δr  0

i i i i i 1

N

1. 第二类拉氏方程

① 方程建立推导

② 有势力下的第二类拉氏方程 ③ 拉格朗日方程的应用分析

利用广义坐标

2. 动能的组成分析 3. 广义力计算 4. 相关例题

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2015/5/25

1

0 广义坐标与直角坐标间变换关系

卡尔坐标 : (x,y,z)、 r;

1 质点系中某个质点 p:rk

广义坐标 {qi | i=1.2…. } =xki+ykj+zkk

2 广义坐标 : ji坐标、球坐标、柱坐标、相对位置坐标、相对角度、…. 3 选定壹组合适的广义坐标后,笛卡尔直角坐标与广义坐标之间存在壹对壹的

单值映射关系

x  x(q1 , q2 , q3 , t )

单个质点

r  r (q1 , q2 , q3 , t )

y  y (q1 , q2 , q3 , t ) z  z (q1 , q2 , q3 , t )

质点系中某个质点

xk  xk (q1 , q2 ,

, qn , t ) , qn , t ) , qn , t )

2

rk  rk (q1 , q2 ,

, qn , t )

yk  yk (q1 , q2 , zk  zk (q1 , q2 ,

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0 广义坐标与直角坐标间变换关系 – (例)

例0-1 在直角坐标系中,空间中的点P可以用与之对应的直 角坐标 P(x,y,z) 表示,也可以用位置矢量 r 来表示

r  OP  xi  yj  zk

 r ( x, y, z )  r (u1 , u2 , u3 )

z P r O

dr

r+dr

质点 P 的运动用位置矢量 r 表示为:

y

r  x(t )i  y (t ) j  z (t ) k  r (t )

质点位移增量

x

3 r r r r  dx  dy  dz  dui dr  dxi  dyj  dzk  x y z i 1 ui

3 dr r r r r v  r ( x, y, z )  xi  yj  zk  x  y z ui dt x y z  u i 1 i

质点速度矢量

质点加速度矢量

a  r ( x, y, z )  xi  yj  zk

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0 广义坐标与直角坐标间变换关系 – (例)

例0-1 在直角坐标系中,空间中的点P可以用与之对应的直 角坐标 P(x,y,z) 表示,也可以用位置矢量 r 来表示

z P r

dr

从而得到位置矢量 r 与基矢量 i j k 的偏导数关系

r  i, x r  j, y r k z

r+dr

O x

y

这壹组等式的几何意义:在空间点P处,基矢量分别沿坐标曲线

的切线的正方向(坐标增加的方向)

r r 还可以得到关系式  , x x

r r  , y y

r r  z z

r r  , i  1, 2, 3 ui ui

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0 广义坐标与直角坐标间变换关系 – (例)

例0-2 平面直角坐标系和平面ji坐标系间的坐标变换关系

 x  r cos   y  r sin 

它们之间的偏导数关系

y r

O

 r  x 2  y 2    tan   y / x

P r

 x  cos   r   y  sin    r

x  r y  r

 x  

r sin    y      y  r cos   x   

x

1  r r     x x cos  r r    1   y y sin 

y sin         r2 r  x   x cos     2  y r r  

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0 广义坐标与直角坐标间变换关系 – (例)

例0-3 球坐标系与直角坐标系间的转换关系

 x   r sin  cos   取广义坐标 q  r     y    r sin  sin       则 x  x(r , , ) 是广义坐标 q 的函数   z     r cos   r   x x x    dx x x  q     dt  q  r       

T

z R r

O x y

x  sin  cos 

 r sin  sin    r      sin  cos  r  r cos  cos   r sin  sin  r cos  cos 

T

类似地,y、z也可以表示为广义坐标的函数,用矩阵式可表示如下:

 x   x x x   r  sin  cos   y    r       sin  cos             z       sin 

r cos  cos  r cos  sin   r sin 

 r sin  sin    r    r sin  cos       0   

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1 完整系统的第二类拉格朗日方程

对于由N个质点组成的 完整、理想约束系统,若取 l 个广义坐标 q1, q2, …, ql,

则第 i 个质点的矢径可表示为广义坐标的函数

ri  ri (q1 , q2 , , ql , t )

ri ri dri  dq  dq  q1 1 q2 2

ri ri  dq  dt ql l t

ri ri  dqk  dt  q  t k k 1

l

质点 i 的矢径 ri 与广义坐标(qk)的存在虚位移关系

l l r ri  N   i F   r  F   q  F     i i k   i  q   i q k k i 1 i 1  k 1 k 1  i 1 

N N

 ri  

ri  qk  q k k 1

l

l    qk   Qk  qk k 1 

ri Fi   Qk   q k i 1

N

广义主动力(广义力)

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1 完整系统的第二类拉格朗日方程

l r l r    N i  mi ri   ri    mi ri    qk      mi ri  i qk qk i 1 i 1  k 1 k 1  i 1  N N

   qk 

ri *  mi ri   Qk qk i 1

N

广义惯性力

* Q  Q   k k   qk  0 k 1 l

由此动力学普遍方程改写 为用广义坐标表示的

广义虚位移独1立

完整系统

Qk  Q  0

* k

上述结果仅依赖 理想约束 条件

广

对系统 动能的全运算以及按照问题的条 件计算广义主动力的表达式,那么就可以列写出系统的动力学方程 即动力学方程的建立的关键在于确定系统动能对广义坐标和广义速度 的依赖关系,以及作用在系统上的与广义坐标相对应的广义主动力

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12

1 完整系统的第二类拉格朗日方程 - 有势力

(1) 若在空间某区域,质点所受的作用力只依赖于空间位置和时间,而与

其速度无关,【F=F(r, t) 】,称该空间区域存在 力场,如重力场、

万有引力场、弹性力场、电场、磁场等 (2) 若存在标量函数V,只依赖于质点 Pi 的位置矢量 ri (坐标 {xi、 yi、 zi}) 且质点 Pi 在力场中所受力等于

Fix   V , Fiy   V , Fiz   V xi yi zi

则称该力场有势,函数V为势能,Fi为有势力 (3) 系统中全主动力都为有势力则称系统为 保守系统

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1 第二类拉格朗日方程 - 有势力

第二类拉格 朗日方程

d  T dt   qk

 T   q  Qk , k 

k  1, 2,

,l

若系统主动力都是有势力,即

Qk   V qk

V  0 qk

d  T dt   qk

 T V     q qk k 

L  T qk qk

定义 L = T – V — 称为 拉格朗日函数,或 动势,则

d  L dt   qk

 L   q  0, k k 

 1, 2,

,l

主动力为有 势力时的拉 格朗日方程

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1 第二类拉格朗日方程 - 有势力

第二类拉格 朗日方程

d  T dt   qk

 T   q  Qk , k 

k  1, 2,

,l

若主动力中只有分力是有势力,即

Qk   V  QkF qk

定义拉格朗日函数 L = T – V ,则上述方程可化作

d  L dt   qk

 L F   Q k , k  1, 2,  q k 

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,l

分主动力 有势时的拉 格朗日方程

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15

1 第二类拉格朗日方程 - 粘性摩擦力

第二类拉格 朗日方程

d  T dt   qk

 T   q  Qk , k 

k  1, 2,

,l

若系统内存在粘性摩擦力,记作Qdk,它通常 可表示为广义速度的线性函数,即 引入瑞利耗散函数  q  1  cik qi qk 2 i 1 k 1

l l

Qdk   cik qk

i 1

l

Qdk  

 d qk

因此存在粘性摩擦力的系统的拉格朗日方程可写作

d  L dt   qk

 L  d   q  q  Qk , k  1, 2, k k 

,l

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16

1 第二类拉格朗日方程 - 建模步骤及优缺点

建模步骤

① 以整个系统为研究对象,

优点

① 应用拉氏

方程可使系统动力学方程的数

② 建立拉氏方程无需进行加速度分析; ③ 建模步骤具有规范的式 ④ 大大简化了复杂 系统动力学问题的分

分析系统的约束性质, 确定系统的自由度数目, 并适当选择广义坐标;

② 写出以广义坐标、广义

目减少到好少,消除了全理想约束力;

速率表示的系统动能

③ 计算广义力 ④ 计算各相应导数 ⑤ 应用拉氏方程建立系统

析和求解过程

⑤ 可直接建立质点系相对于非惯性系的运

运动微分方程

动方程(此时只需要把相对运动中的坐 标取作独1立坐标即可,但要注意在计算 动能时,各个速度必须是绝度速度

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17

1 第二类拉格朗日方程 - 建模步骤及优缺点

缺点

① 拉氏方程中各项的理意

优点

① 应用拉氏方程可使系统动力学方程的数

② 建立拉氏方程无需进行加速度分析; ③ 建模步骤具有规范的式 ④ 大大简化了复杂 系统动力学问题的分

义不如牛顿力学方程中的 各项那样清晰

② 不能直接利用拉氏方程求

目减少到好少,消除了全理想约束力;

解各类理想约束力

③ 对单个体或简单系统的

动力学问题,拉氏方程不 比用牛顿力学或动力学普 遍方程方便、快捷

析和求解过程

⑤ 可直接建立质点系相对于非惯性系的运

动方程(此时只需要把相对运动中的坐 标取作独1立坐标即可,但要注意在计算 动能时,各速度必须是绝度速度

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18

2 系统动能的结构

N个质点的力学系统的动能为

1 N T   mi ri  ri 2 i 1

0

将速度用广义坐标和广义速率表示

ri  

ri r qj  i t j 1 q j

l

 l r ri   l ri ri   1 N i T   mi   qj   qk      2 i 1  t   k 1 qk t    j 1 q j 

 N  l ri ri  1 N r r 1 N  l l ri ri   m  i   q j qk    mi    q j    mi i  i  i 1  j 1 q t  2 i 1 2 i 1  t t j  j 1 k 1 q j qk    r r 1 l l  N     mi i  i 2 j 1 k 1   i 1 q j qk

l  N  ri ri  r r 1 N q j qk     mi   q j   mi i  i    i 1 q t  2 i 1 t t j  1 j   

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2 系统动能的结构

r r 1 l l  N T     mi i  i 2 j 1 k 1   i 1 q j qk

l  N  ri ri  r r 1 N q j qk     mi   q j   mi i  i    q j t  2 i 1 t t j 1

3 广义力计算

(3) 广义坐标与笛卡尔坐标的偏导数关系  x1  x1 0   L sin  1 1        2  1    y  y1  0  1  L1 cos 1     2  1

 x2   L1 sin 1     1   y2  L1 cos 1   1

O θ1 L1

A(x1,y1)

y

 x2   L2 sin  2    2   y2  L2 cos  2    2

θ2

P1=m1g

L2

B(x2,y2)

x

P2=m1g

(4) 按广义力定义计算

Q1  F1x x1 y x y  F1 y 1  F2 x 2  F2 y 2 1 1 1 1

r Qk   Fi  i qk i 1

N

  F1x  m1 g ; F1 y  0    F2 x  m2 g ; F2 y  0

 m1 gL1 sin 1  m2 gL1 sin 1  (m1  m2 ) gL1 sin 1

Q2  m2 gL2 sin  2

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3 广义力计算

(4) 按虚功计算

系统所受主动力为:m1g、m2g 所做虚功分别为:m1gδx1、m2gδx2 笛卡尔虚位移与广 义虚位移的关系 令 1  0,  2  0 ,则

O θ1 L1

A(x1,y1)

y

 x1   L1 sin 11  x2   L1 sin 11  L2 sin  2 2

θ2

P1=m1g

L2

B(x2,y2)

x

P2=m1g

  W ( )  m g x

1 1

1

 m2 g x2

  m1 gL1 sin 11  m2 gL1 sin 11

令  2  0, 1  0 ,则

 W ( )  Q( ) 

1 1

1

 (m1  m2 ) gL1 sin 1

Q( 2

  W (

2

)  m1 g x1  m2 g x2   m2 gL2 sin  2 2

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 W (  )  2

2

)

  m2 gL2 sin  2

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3 广义力计算

(5) 按有势力计算

系统所受主动力m1g、m2g 有势 其势能用广义坐标可表示为

O θ1 L1

A(x1,y1)

y

V   m1 gL1 cos 1  m2 g ( L1 cos 1  L2 cos  2 )

V 于是利用 Q j   可求得对应于广义坐标的广义力为 q j

θ2

P1=m1g

L2

B(x2,y2)

x

P2=m1g

V Q(1 )    (m1  m2 ) gL1 sin 1 1 V Q( 2 )    m2 gL2 sin  2  2

由以上三种方法的计算可以看出

 对于保守力的广义力,通过势能函

数确定较为简单  如果主动力个数较多,按广义力定 义来确定广义力很繁琐

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4 应用举例 – 保守系统

例4-1 滑块A和单摆B构成的有势系统

取 x 和  为广义坐标 系统的势能为 y O x 椭圆摆

A

mA

x

V  mB gl cos 

系统的动能为

2 2 T  1 mAv A  1 mB vB 2 2

φ

vr

B mBg

vB

ve

 1 mA x 2  1 mB ( x 2  l 2 2  2lx cos  ) 2 2

系统的拉格朗日函数为

L  T  V  1 mA x 2  1 mB ( x 2  l 2 2  2lx cos  )  mB gl cos  2 2

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4 应用举例 – 保守系统

例4-1

OB与铅直轴的夹角θ 。 解:取整个系统为研究对象,系统具有理想约束。

系统所受的主动力分别为 m1g、m1g、m2g

两小球A、B的惯性力 FA,FB 的大小

FA  FB  m1 AE 2  2m1a sin  2

取坐标系 E-xy,则 x A  xB  0 对应坐标的变分

y A  2a sin 

yB  2a sin 

xO  2a cos 

 x A   xB  0

 y A  2a cos

 yB  2a cos

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 xO  2a sin 

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4 应用举例

例4-5 离心调速器

图示离心调速器以角速度 ω 绕铅直轴转动。每个球质量 为m1,套O质量为m2,杆重略去不计,小球视为质点, OC = EC = AC = OD = ED = BD = a。求稳定旋转时,两 臂OA和OB与铅直轴的夹角θ 。 根据动力学普遍方程,有

 FAδy A  FB δyB  m1 gδx A  m1 gδxB  m2 gδxO  0

把有关各量代入

2m1a 2 sin  ( 2a cos  δ )  2m1a 2 sin  (2a cos δ )  m1 g  0  m1 g  0  m2 g (2a sin  δ )  0

cos   m2 g 2 4am1

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因 δ  0

整理可得

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