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《两类拉格朗日方程》

来源:互联网收集 日期:2018-01-19 10:32:27 分类:入党申请书范文 阅读:
范文壹:8-1第二类拉格朗日方程

第1节第二类拉

格日朗方程

200

2年月319

日广义

标坐的达中伦伯拉格-日原理 第 8朗章第 二 拉 类格朗 日 方 程及 其应 用

想完整约束理统:广义坐系为标 1q,q2 ,… ,q N想理完整约束 点i质矢:径r i= r i(q1 ,q ,2! ,Nq t ,)

ni =1

n∂r

δir =i ∑δ qk ∂q k k1

=

N i =1

n

系质动力学遍普方程 : fi ∑⋅δ ri −∑ mi i a⋅ rδ =i

0

∑i

1 n

=n

f

⋅iδ i r= ∑kδQq

kk =1

N

Qk = ∑if⋅

i =1

i ∂qr

k

∂ir" "m−iai ⋅ δ ri =∑ −mi r ⋅i∑ δ kq ∑i=1 i= 1 k= 1q∂ N k∂ir   n""= ∑ ∑ −m i rδq k i⋅ ∂qk  =1k i =

1 n

N

∑Q

(k= 1

N

k

* Q+ )kδ k = q

0

整系完

* 统kQ Q+ k0=

#

*Q 广k惯义力

义主动力广和广义惯 性相力互衡平

!拉格朗日关系式

第 8章第 二 类 拉格朗 日 方 程 其及应 用

ri = ir (q1, q ,!2, q N ,t )

t求导

对k"求导∂ r iri∂ 对q "i ∂ rr∂ i"i= "j∑+ qr q= ∂t∂ " kqk ∂q∂j =1

Nj

qk对导

N求 Ni"∂r ∂ 2r i∂ 2 i r" +j ∑=q ∑ = ∂∂qkj =1 q ∂ ∂jq ∂kt∂qk j1=∂q j

 ri ∂ ∂q  k

 

r∂ i ∂ j "+ q t∂ ∂k q  

"i

∂r  ∂ri d  ∂=k dtq ∂qk 

类二拉格日朗方 程第 8章第 二 类 格 朗拉 日 方 程及 其 应

"用i ∂ ∂ri r = ∂n r" k ∂k q i∂q *Qk= − ∑ i m" ⋅ "r ii

= 1

∂kq

"i r∂ r∂i d =∂ q ktd ∂kq

 n n r∂∂ r i   d d i " i⋅ i ⋅" =−  ∑ i r + m∑ im r td  i1=d t ∂qk ∂qk i = 1n n " "i ∂r ∂r  d i i "⋅ i"⋅ = −  m∑ i + ∑ mrir  " ki = 1t d =1i∂q ∂ kq

nn    d∂ ∂ 1 1 22" m" ir i+ mi ri  =− ∑ ∑ " k i=1 2 d t∂ q∂qk  i = 1 2   = − d T∂ + ∂T "k  q∂ kd t∂

第二q拉格类日朗程 方第 章8第 二 类 拉 朗格 日方程 及 其 用

应* k + QkQ=

0

 *kQ= − d∂T  ∂+ "Tk ∂ q kt d∂ q

 T∂第二类 拉朗格  − ∂q Qk ,= k= , 2,1! , N方程 日k V∂ 如主力都动是有力势 Q: =k ∂ −k d q T∂ − ∂ T = −V ∂V = 0 ∂ "k ∂q k∂ q kt  ∂qd" k ∂

d  ∂qL"k dt  ∂

d q L ∂" dt  k q

d∂T k" d t ∂q

∂ L主 动力为势时 ! 力− 0=, k= 1 2, ,, N q 的拉∂格朗方程 日k 主

动力既有  ∂L 势 − Q= ,k = , 2, 1!, N k  ∂ 力又有q势非力 k

L =T– V —拉 格朗函日,数动势或

拉格

朗方程的特日点 第 章 第8 二类拉 格朗 日方 程及 其 应

!用 格拉日方朗的程程方等数质系自于度

由数,是

好量方程

少! 不要需考理想约虑束约束反力 的 !只需要析速分度不需分,析加速度! 拉格 朗方日程标量方是程

拉格日朗程方应举例 用第8章 第 二 类拉 格朗 方日 程 其及应 用

用拉应格朗日程的解题步方骤 为! 判系断是否统为完约束,整主动是力 否有,势以决能定否用拉格应日朗方程以 及应何用种式拉格朗日的方程。 ! 确定统的系由自数,选择合适度的广义坐标。 ! 按 选所的义广坐,写标系统动出、能 势能广义力或。 把动能、广义!或拉力格朗日数函代入格拉朗 日方程

1第 8 第 章 类二拉 格 日 方 朗 及程其 应

行用星齿机构轮水在面平运动。内量为m的质 质均曲柄A B带行动齿轮星 I I在定齿固轮I 上 滚动纯齿轮 II。的质 量 m为2,径为 半r2。 定轮I齿半径的为r。杆1轮与接铰处的摩擦力 略不忽计。曲柄当力受矩为M偶的力偶作用 常时用拉格,朗日程方曲求柄的加角速。度

例1第 8章第 二 类拉 朗 日格方 程及 应 用其

取曲柄转角的ϕ广义坐标为

"。 2T= 1(m + 2m2 9)( 1r + 2r ) ϕ 212M ϕδ Q ϕ= =M

δϕ

T=1 2(m 9+m )( r r ) + 2ϕ 2 1"2 "6∂ϕ

d  ∂ T −∂T = Q ϕ∂ϕ " dt ϕ  ∂

1 (2 m 9+ m() r+ r )2 ε = 2 M 2 6

=

6M 2(m+ 9m2 () r 1 r2+) 2

2 例第8章 第二 类拉 朗格 方日程 及 其 应用

用格拉日朗方求椭圆摆程运的微分动方程

y x

OAm g

A

ϕB

B gm

x

2 第8章 第二 类 拉 朗 日 格 方 及 程 其应用

x取和ϕ广为坐义 系统标势的能

为 V =− m Bl gcos ϕ

Oy

xA mg

A

ϕ

x

统的系能为

动2 2

BT =1m A Av+ 1m BvB 2 2 " +22 lx" co s )ϕm B g 2" + 1mB( x " 2 +l2ϕ " ϕ = m1A 2x

2系统

的格朗拉日函为数

L=T V−

第28章 第二 类 拉 朗 日 方格 程及 其应

" 用 2 2+l x" osc ϕ + m) Bg closϕ " + 2 mB ( x 1 2 "+l ϕ2"ϕ L= 1 mA x 2 ∂2 = 0 ∂LL = m( +m ) "x ocs ϕ +" mBlϕ A B "∂x ∂ x

d ∂ = ( Lm +m ) " 2" " ""x +m l c so −m l s in ϕ ϕ ϕϕA B B B " d tx

)

(

∂ = L−m l ""x Bϕ s i n ϕ− Bm g lis ϕ n∂

ϕL∂ =m l ϕ 2" +m Bl x"c s o B " ∂ϕϕ

d

∂ L= m l 2 "ϕ "+ B lx "m si n "ϕ "csoϕ − mB xl"ϕ   " dtB ∂ϕ

d

∂L k "dt  ∂q

L∂ − ∂ q= , k0 =,1 2k

"" os c − ϕB mlϕ" 2 sin ϕ = 0x : m( + AB m) ""x + mB lϕ ""+ m Blx " co"sϕ +mBg silnϕ = 0ϕ : mB l2ϕ

3第 8章 第二类 拉格 日 朗方程 及 其 应 用

拉格朗用日程方列写统的运系动微方分。程 xyr ′O " x CvC"r x xxα

O例3 8第章第 二 类 格拉朗 日 方 程及 其应 用 取x和xr为广

坐义标。

2" x1 1 1 1r "2 m( x +"2+ x "r2 + 2x " "x cro αs) + T= M mx 2r 2 2 2 22 r 2"+ 3 m x r" 2 +mxx " r cos " = 1α( M + m )x 42

V

= mgx−r ins

α" 2+ 3m x "r 2 +mxx" " r oscα + mgr xsinα L= 1 (M +m) x 2 4∂L

= 0 ∂x

d

∂ = (L M+ m )""" r "co α xs m+ " dtx

∂x

(

)

L =∂ (M+ m ) x " m+x " rc osα " x∂

3例 8章第 二 类第 拉 格朗 日 方 程 其 及应用 "

2 + 3 mx "r +2 mxx" " rc s o α+m gr xsi n αL= 1 (M +m)x 2

4解

∂ = mL sin αg ∂x

rL ∂ = mx "3 r+ mx "cso "r 2α ∂

x

d L∂ r "d t ∂

xd ∂L k d"t ∂q

3 """" c o α  =s2 xr + mmx

L∂ −∂q 0= ,k =1 , 2 k

""rcos α = 0 x : ( + M)m"" x m+x"" r+mx " c"so − mα gins = α0x : 3r m 2x

例 4 第8章第 二 类 拉 格 朗日 方 程及其 应用 半

径 R为的 圆环力在偶 矩为M的偶作力下以用角速 度 匀速ω转,质动量 为 的m环小可圆在环上自 由滑动。已圆知环 y轴对转动惯量为的,J 略忽摩擦力求为使。圆 匀角环转动速需 所施加的力矩M。偶M

yO

RRθ

xm

例4

第8 章第 二 类 格拉朗 日 方程及 其 应 用

除匀解速动约转,代束之 约于束力。反系统有两 个具自由,取 θ 度和ϕ 为 义广标。坐"

2 + =L 1(J +R 2 smin θ2)ϕ 2 1 mR 2 θ" +2m g cos θ 2 MR δϕ=M Q ϕ =ϕδ∂

L=0 ∂

ϕOR m

M

y

R

∂ L= J + (R m2s n i2 θ ϕ)" " ∂

ϕ

d∂L  ( J=+ R 2msi 2n )ϕ " "θsin θc soθ " "+ 2mR2 θϕ  " td ∂ϕ

例4第 8 第 二 类 拉章格 朗 日 方程及 其 应 用

d ∂ L − L = Q∂ ∂ ϕ ϕ"d t ϕ ∂ 

"

" isnθ co s θ" "+ m2 Rθϕ2 M= ( J + m 2R si n2 θϕ

)

"= ω 和 ϕ" ="0 入代上,式即得 将束条件ϕ 为约圆使匀环速转动角所施需加力的矩偶 M为"

s in θ oc sθ M=2m R2θω

5例 8第章 第 二类 格拉 日 朗 方程 及 应 其用已

:知 m ,, k,M a 求:系。运动统微方程分。

例 5第8章 第二 类拉 格 日朗方 程及 其 应 用

x选 xr,为广义标

" 坐 + 21m ( "x2+ x " 2 r + xx2 " "r cosα ) T= 1Mx 22 =V k 1 x( r +δ s ) 2 −mg s n αi⋅ x r 2

d∂L "k td  ∂ q

∂L  − q∂ 0= k, 1= ,2 k

8 章 第二 类拉 格朗 日 程 方及 其 应

范文二:8-1_第二类拉格朗日方程

问题的提出 第8章 第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 及 其 应 用

非自由质系静力学 分析 牛顿 力学 力学

R(e) = 0 ( M Oe ) = 0

第1节

第二类拉格朗日方程

非自由质系动力学 分析 牛顿 力学 力学 达-拉原理

平衡方程 虚位移原理 动量方程

(e) ∑ Fi ⋅ δ ri = 0 R (e) = dp / dt ∑ (Fi + Si ) ⋅ δ ri i i M O = dLO / dt = 0 广义 广义

未知约束力 坐标 主动力 未知数太多 有势 ∂V =0 联立求解 Q j = 0 ∂q

j

坐标

2005年12月18日

无未知约束力 方程数和自由度数相等

广义坐标式的达朗贝尔-拉格朗日原理 第8章 第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 及 其 应 用

理想完整约束系统:广义坐标为q1, q2, …, qn 质点i向径: ri = ri ( q1 , q2 , L , qn , t )

N i =1

N

拉格朗日关系式 第8章 第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 及 其 应 用

ri = ri ( q1 , q2 , L , qn , t )

对t求导

& ri = ∑

∂r δ ri = ∑ i δ qk k =1 ∂qk

n

N i =1

质系动力学普遍方程: fi ⋅ δ ri − ∑ mi ai ⋅ δ ri = 0 ∑

∂ri ∑ ∂qk i =1 k =1 i =1 N N n ∂r ⎛ ⎞ && ∑ ( −mi ai ⋅ δ ri ) = ∑ ⎜ −mi ri ⋅ ∑ ∂qik δ qk ⎟ i =1 i =1 ⎝ k =1 ⎠

N

& ∂ri ∂r 对qk求导 ∂ri & ∂r & qj + i = i ∂t & ∂qk ∂qk j =1 ∂q j

n

fi ⋅ δ ri = ∑ Qk δ qk

n

Qk = ∑ f i ⋅

对qk求导

n n & ∂ri ∂ 2 ri ∂ 2 ri ∂ ⎛ ∂ri & =∑ qj + = ∂qk j =1 ∂q j ∂qk ∂t ∂qk ∑ ∂q j ⎜ ∂qk ⎝ j =1

∑ (Q

k =1

n

k

* + Qk ) δ qk = 0

⎞ ∂ ⎛ ∂ri ⎞ & ⎟ q j + ∂t ⎜ ∂q ⎟ ⎠ ⎝ k⎠

∂r ⎞ ⎛ N = ∑ ⎜ ∑ −mi && ⋅ i ⎟ δ qk ri ∂qk ⎠ k =1 ⎝ i =1

n

完整系统

* Qk + Qk = 0

{

* Qk 广义惯性力

广义主动力和广义 惯性力相互平衡!

& ∂ri ⎛ ∂ri ⎞ = d ∂qk dt ⎜ ∂qk ⎟ ⎝ ⎠

第二类拉格朗日方程 第8章 第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 及 其 应 用

N

第二类拉格朗日方程

∂r

& ∂ri ⎛ ∂ri ⎞ = d ∂qk dt ⎜ ∂qk ⎟ ⎝ ⎠

i = i ∂r & * Qk = −∑ mi && ⋅ i ∂qk ∂qk ri ∂qk i =1

N N

& ∂r

第8章 第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 及 其 应 用

* Qk + Qk = 0

⎛ * Qk = − d ⎜ ∂T & dt ⎝ ∂qk

⎞ ∂T ⎟ + ∂q k ⎠

∂r ⎞ ⎛ ⎛ ∂r ⎞ & & = − d ⎜ ∑ mi ri ⋅ i ⎟ + ∑ mi ri ⋅ d ⎜ i ⎟ ∂qk ⎠ i =1 dt ⎝ i =1 dt ⎝ ∂qk ⎠ & & ∂r ⎞ N ∂r ⎛ N & & = − d ⎜ ∑ mi ri ⋅ i ⎟ + ∑ mi ri ⋅ i & dt ⎝ i =1 ∂qk ⎠ i =1 ∂qk

d ⎛ ∂T ⎞ − ∂T = Q , k = 1, 2,L , n 第二类拉格朗 k dt ⎜ ∂qk ⎟ ∂qk 日方程 ⎝ & ⎠ ∂V 如主动力都是有势力: Qk = − ∂q k d ⎛ ∂T ⎞ − ∂T = − ∂V ∂V = 0 ⎜ ∂q ⎟ ∂q ∂qk dt ⎝ & k ⎠ k & ∂qk

d ⎛ ∂L dt ⎜ ∂qk ⎝ & ⎞ ∂L 主动力为势力时 ⎟ − ∂q = 0, k = 1, 2,L , n 的拉格朗日方程 k ⎠

⎛ N ⎞ ⎛ N ⎞ & & = − d ∂ ⎜ ∑ 1 mi ri 2 ⎟ + ∂ ⎜ ∑ 1 mi ri 2 ⎟ & dt ∂qk ⎝ i =1 2 ∂qk ⎝ i =1 2 ⎠

⎠ ⎛ ∂T ⎞ ∂T =− d ⎜ + & ⎠ dt ⎝ ∂qk ⎟ ∂qk

L = (T – V)

—— 拉格朗日函数,或动势

1

拉格朗日方程的特点 第8章 第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 及 其 应 用

拉格朗日方程的方程数等于质系自由度 数,是好少量方程 不需要考虑理想约束的约束反力 只需要分析速度,不需分析加速度 拉格朗日方程是标量方程

拉格朗日方程应用举例 第8章 第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 及 其 应 用

应用拉格朗日方程的解题步骤为: 判断系统是否为完整约束,主动力是否 有势,以决定能否应用拉氏方程以及应 用何种式的拉氏方程。 确定系统的自由度数,选择合适的广义 坐标。 按所选的广义坐标,写出系统动能、势 能或广义力。 把动能、广义力或拉格朗日函数代入拉格 朗日方程。

例 8-1-1 第8章 第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 及 其 应 用

行星齿轮机构在水平面内运动。质量为m的 均质曲柄AB带动行星齿轮II在固定齿轮I上 纯滚动。齿轮II的质量为m2 ,半径为r2 。定 齿轮I的半径为r1。杆与轮铰接处的摩擦力忽 略不计。当曲柄受力偶矩为M的常力偶作用 时,用拉格朗日方程求曲柄的角加速度。

解 第8章 第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 及 其 应 用

取曲柄的转角ϕ为广义坐标。

& T = 1 (2m + 9m2 )( r1 + r2 ) 2 ϕ 2 12 M δϕ Qϕ = =M

δϕ

∂T = 1 (2m + 9m )( r + r ) 2 ϕ & 2 1 2 & ∂ϕ 6

d ⎛ ∂T ⎞ − ∂T = Q ϕ dt ⎜ ∂ϕ ⎟ ∂ϕ ⎝ &⎠

1 (2m + 9m )( r + r ) 2 ε = M 2 1 2 6

ε=

6M (2m + 9m2 )( r1 + r2 ) 2

单自由度问题,拉氏方程等价于动能定理

例 8-1-2 第8章 第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 及 其 应 用

用拉格朗日方程求椭圆摆的运动微分方程

y x A x

解 第8章 第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 及 其 应 用

取x和ϕ为广义坐标 系统的势能为

V = − mB gl cos ϕ

O y x

mA g

A ϕ B

x

O

ϕ

系统的动能为

B

2 2 T = 1 m A v A + 1 mB v B mB g 2 2 & & & && = 1 m A x 2 + 1 mB ( x 2 + l 2ϕ 2 + 2lxϕ cos ϕ ) 2 2

系统的拉格朗日函数为

L = T −V

2

解 第8章 第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 及 其 应 用

& & & && L = 1 m A x 2 + 1 mB ( x 2 + l 2ϕ 2 + 2lxϕ cos ϕ ) + mB gl cos ϕ 2 2 ∂L = 0 ∂L = ( m + m ) x + m lϕ cos ϕ & & A B B & ∂x ∂x

d ∂L = (m + m ) && + m lϕ cos ϕ − m lϕ 2 sin ϕ && & A B x B B & dt ∂x

例 8-1-3 第8章 第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 及 其 应 用

用拉格朗日方程列写系统的运动微分方程。 y xr

O′

C

( )

∂L = − m lxϕ sin ϕ − m gl sin ϕ && B B ∂ϕ

∂L = m l 2ϕ + m lx cos ϕ & & B B & ∂ϕ

x O

α

x

d ⎛ ∂L ⎞ = m l 2ϕ + m lx cos ϕ − m lxϕ sin ϕ && && && B B B dt ⎜ ∂ϕ ⎟ ⎝ &⎠

d ⎛ ∂L ⎞ − ∂L = 0, k = 1, 2 dt ⎜ ∂qk ⎟ ∂qk ⎝ & ⎠

&& & x : (mA + mB ) && + mB lϕ cos ϕ − mB lϕ 2 sin ϕ = 0 x && && ϕ : mB l 2ϕ + mB lx cos ϕ +

mB gl sin ϕ = 0

解 第8章 第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 及 其 应 用

取x和xr为广义坐标。

& x & & & && T = 1 Mx 2 + 1 m( x 2 + xr2 + 2 xxr cos α ) + 1 1 mr 2 2 2 22 r & & && = 1 ( M + m) x 2 + 3 mxr2 + mxxr cos α 2 4

2 r 2

解 第8章 第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 及 其 应 用

& & && L = 1 ( M + m ) x 2 + 3 mxr2 + mxxr cos α + mgxr sin α 2 4

∂L = mg sin α ∂x r

∂L = 3 mx + mx cos α & & & ∂xr 2 r

V = − mgxr sin α

& & && L = 1 ( M + m ) x 2 + 3 mxr2 + mxxr cos α + mgxr sin α 2 4

∂L = 0 ∂x

d ⎛ ∂L dt ⎜ ∂xr ⎝ &

d ⎛ ∂L dt ⎜ ∂qk ⎝ &

⎞ 3 && && ⎟ = 2 mxr + mx cos α ⎠

⎞ ∂L ⎟ − ∂q = 0, k = 1, 2 k ⎠

d ∂L = ( M + m ) && + mx cos α &&r x & dt ∂x

( )

∂L = ( M + m ) x + mx cos α & &r & ∂x

&& x 对x ( M + m) && + mxr cos α = 0 3 mx + mx cos α − mg sin α = 0 && && 对xr 2 r

例 8-1-4 第8章 第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 及 其 应 用

半径为R的圆环在力偶 矩为M的力偶作用下以 角速度 ω匀速转动,质 量为m的小环可在圆环 上自由滑动。已知圆 环对y轴的转动惯量为 J,忽略摩擦力。求为 使圆环匀角速转动所 需施加的力偶矩M(表 示成θ的函数)。

M

解 第8章 第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 及 其 应 用

解除匀速转动约束,代之 于约束反力。系统具有两 个自由度,取 θ 和 ϕ 为广 义坐标。

Qϕ = M

O R

Rθ M

y O R

y x

x

m

& L = 1 ( J + mR 2 sin 2 θ )ϕ 2 + 2 1 mR 2θ 2 + mgR cos θ & 2

∂L = 0 ∂ϕ

m

∂L = ( J + mR 2 sin 2 θ )ϕ & & ∂ϕ

d ⎛ ∂L ⎞ = ( J + mR 2 sin 2 θ )ϕ + 2mR 2θϕ sin θ cos θ && && dt ⎜ ∂ϕ ⎟ ⎝ &⎠

3

解 第8章 第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 及 其 应 用

d ⎛ ∂L ⎞ − ∂L = Q ϕ dt ⎜ ∂ϕ ⎟ ∂ϕ ⎝ &⎠

&& && M = ( J + mR sin θ )ϕ + 2mR θϕ sin θ cos θ

2 2 2

讨论 第8章 第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 及 其 应 用

小环的运动规律

& & L = 1 ( J + mR 2 sin 2 θ )ϕ 2 + 1 mR 2θ 2 + mgR cos θ 2 2 ∂L = mR 2 sin θ cos θϕ 2 − mgR sin θ & ∂θ

& 约束条件: ϕ = ω

&& ϕ =0

∂L = mR 2θ & & ∂θ

d ⎛ ∂L ⎞ = mR 2θ && dt ⎜ ∂θ ⎟ ⎝ &⎠

M

& M = 2mR 2θω sin θ cos θ

&& & Rθ − R sin θ cos θϕ 2 + g sin θ = 0

O

y x R

理意义?

m

讨论 第8章 第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 及 其 应 用

约束反力对y轴的矩为零

Ly = J ω + mR sin θω

2 2

矢量力学解法

M

例 8-1-5 第8章 第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 及 其 应 用

已知: m, M, k, a。 求:系统运动微分方程。

dL y & = 2mR 2θω sin θ cos θ dt =M

y O R

x

m

解 第8章 第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 及 其 应 用

选x, xr为广义坐标

& & & && T = 1 Mx 2 + 1 m( x 2 + x r2 + 2 xx r cos α ) 2 2 1 k ( x + δ ) 2 − mg sin α ⋅ x V= r s r 2

d ⎛ ∂L ⎞ − ∂L = 0, k = 1, 2 dt ⎜ ∂qk ⎟ ∂qk ⎝ & ⎠ & & x : d ⎡( M + m ) x + mxr cos α ⎤ = 0 ⎦ dt ⎣ & & xr : d [

mxr + mx cos α ] + k ( xr + δ s ) − mg sin α = 0 dt && ⎧( M + m ) && + mxr cos α = 0 x ⎨ && && ⎩ mx cos α + mxr + kxr = 0

4

文三:拉格朗日方程

专题

拉格朗日方程 Lagrange’s equations

2012年5月25日 Friday

理论力学CAI

1

§1. 动力学普遍方程

(The general equation of dynamics)

由n个质点组成的理想约束的系统。根据达朗贝尔原理,有

Fi  FNi  FIi  0 (i  1,2,  , n)

令系统有任意壹组虚位移:

δri (i  1,2,  , n)

代入虚功原理,得到动力学普遍方程:

 (F  m a )  δr  0

i 1 i i i i

n

(i  1,2,  , n)

 (( F

i 1

n

xi

 m i i )δ x i  ( F yi  m i i )δ y i  ( F zi  m i i )δ z i )  0 x y z

2012年5月25日 Friday

理想约束条件下,质点系在任壹瞬时所受的主动力和虚加的 惯性力系在虚位移上所作虚功之和等于零。

理论力学CAI 2

例16-1

滑轮系统,绳子和滑轮的重量不计,忽略摩擦。重m1,m2,求 m2下降的加速度。

解: 为壹自由度系统

取系统为研究对象,系统具有理想约束。 设重m2下降的加速度a2,其虚位移为 s2 a δs2 a1  2 δs1  2 2 系统施加惯性力 由动力学普遍方程:

δ W  ( m 2 g  m 2 a 2 ) δ s 2  ( m 1 g  m 1 a 1 ) δ s1  0

m2a2 a2 s2 m1g m2g

a1 s1

m1a1

2012年5月25日 Friday

a2 

4m2  2m1 g 4m2  m1

理论力学CAI

3

§2 拉格朗日方程

1. 两个拉格朗日关系式

由n 个质点组成的系统,系统具有s 个理想的、且为完整的 约束,系统的广义坐标数为 f =3n-s 。第i个质点的位矢为:

ri  ri (q1 , q2 ,  , q f , t ), i  1,2,  , n

两边对时间t 求导

 ri 

f

j 1

 ri r j  i q q j t

 上式两边再对 q j 求偏导得

  ri  ri   q j q j

即,任壹质点的速度对广义速度的偏导数等于其矢径对广义坐标的偏 导数,称为第壹个拉格朗日关系式。

2012年5月25日 Friday 理论力学CAI 4

 ri  ri   t

f

f

j 1

 ri  qj q j

 2 ri  qj q jq a

对任意壹个广义坐标qa求偏导数

  ri  2 ri   q a  t q a

j 1

f  2 ri  2 ri   d ri    qj    q a  d t   q a  t j 1  q a  q j

交换求导次序,先将位矢对任意壹个广义坐标qa求偏导数,再对 时间求导数,则得到 f  2 ri  2 ri d   ri      q   q t   q q q j dt  j 1 a  a a j 位矢交换求导次序后相等

d dt

2012年5月25日 Friday

  ri   q j 

     ri  q j 

任壹质点的速度对广义坐标的偏导数等于 其矢径对广义坐标的偏导数,再对时间的 壹阶导数,称为第二个拉格朗日关系式。

理论力学CAI 5

2 拉格朗日方程

由动力学普遍方程

 ( F  m a )  δr  0

i 1 i i i i

n

(i  1,2,  , n)

第i 个质点的位矢 第i 个质点的虚位移 代入动力学普遍方程:

ri  ri (q1 , q2 ,  , q f ,t ), i  1,2,  , n

δ ri 

f

j 1

 ri δq j , q j

i  1, 2 ,  , n

 (F  

i 1 i

n

f

j 1

f  ri  ri  m iai   )δq j  0 q j j 1  q j

( i  1, 2 ,  , n ; j  1, 2 ,  , f )

2012年5月25日 Friday 理论力学CAI 6

 (F  

i 1 i

n

f

j 1

f r  ri  mi a i   i )δq j  0 q j j 1  q j

( i  1, 2 ,  , n ; j  1, 2 ,  , f )

改变求和次序,动力学普遍方程变为: f  n n  ri   ri 1   Fi   q   ( m i a i )   q δ q j  0 j   i 1 i 1 j j    ( j  1, 2 ,  , f ; i  1, 2 ,  , n )

n  ri   Q j   ( mi ai )  q δq j  0 j 1  i j    f

 Q

f

2012年5月25日 Friday

j 1

j

 Q Ij δq j  0

理论力学CAI 7

广义惯性力

n  dri ri ri  2 ri  2 ri   ri )    mi (  ) Q Ij    ( mi    ri  ri  d t q j q j q j t q j t i 1 i 1 n n  dri ri  2 ri  2 ri   )   mi ri   ri     mi (  d t q j q j t q j t i 1 i 1 n

n  ri d n d r i  i  ( i ) Q Ij   (  m i r )   mi r q j d t i 1 dt q j i 1

又有两个关系式:



  d r r   (  m i ri  i )   m i ri  ( i )  d t i 1 q j q j i 1

n n

  ri  ri   q j q j

d dt   ri   q j       ri  q j 

n n m i v i2 m i v i2 d   ( ) ( )   j i 1 2 dt q  q j i 1 2

系统动能

mi vi2 T  2 i 1

n

  ri  ri  vi2

d T T  QIj    dt q j q j

理论力学CAI 8

广义惯性力写成动能的函数

2012年5月25日 Friday

将广义惯性力代入动力学普遍方程

f

j 1

 d T T Qj  ( )   dt q j q j  

 δ q j  0  

对于完整约束系统,由于qj 的独1立性, qj (j=1,2,…,f ) 不可能全为零,于是得到

d T T Qj  ( ) 0  dt q j q j

( j  1,2 , ,f )

此即拉格朗日方程。为二阶常微分方程组。

2012年5月25日 Friday 理论力学CAI 9

保守系统的拉格朗日方程

如果作用在系统上的主动力都是有势力,根据有势力的 广义主动力 拉格朗日方程变为

Qj  

V q j

( j  1,2 , ,f )

T V d T 0   ( )  q j q j dt q j

而且

V V=V (q1 , q2 ,  , q f ),  0,  q j

拉格朗日方程可写成

V V T d T ( )-( ) =0 - -   q j q j dt q j q j

2012年5月25日

Friday 理论力学CAI 10

保守系统的拉格朗日方程

d T V V T - - ( )-( )=0   dt q j q j q j q j

引入拉格朗日函数(又称为动势)

L=T-V

得到主动力为有势力的拉格朗日方程

d L L ( )  0  dt q j q j

2012年5月25日 Friday

( j  1 ,2 , ,f )

理论力学CAI

11

§3 拉格朗日方程应用

拉格朗日方程是解决完整约束系统动力学问题的普 遍方程,它式简洁,便于计算,广泛应用于复杂系统 的动力学问题。 应用拉格朗日方程的壹般步骤: 1. 判断约束是否是完整系统。 2. 确定系统的自由度,选择合适的广义坐标。 3. 写出系统的动能、广义力。 4. 将动能、广义力代入拉格朗日方程。

2012年5月25日 Friday 理论力学CAI 12

例题16-7

试用拉格朗日方程建立滑块-单摆 系统的运动微分方程。

mA

O x

A

vA x

解: 此题研究对象为二自由度系统。

以滑块A的坐标x和摆的摆动角度 作为广 义坐标。主动力为有势力。 则滑块速度 摆的速度

l B

 vA  x

2  2    v B  x 2  l   2 xl cos 

mB

则系统的动能为

1 1 2 2 T  m Av A  m B vB 2 2 1 1   2  m B l l  2  2 x  cos    (m A  mB ) x 2 2

理论力学CAI 13

2012年5月25日 Friday

系统的动能 T  1 ( m  m ) x 2  1 m l l  2  2 x  cos      A B B 2 2 以过A的水平面重力的零势能面,则系统的势能为:

V  mB glcos

拉格朗日函数

L  T V 1 1   2  m B l l  2  2 x  cos   m B gl cos    (m A  m B ) x 2 2

2012年5月25日 Friday

理论力学CAI

14

拉格朗日函数 1 1 2    L  ( m A  m B ) x  m B l l  2  2 x  cos    m B gl cos  2 2

求偏导

L    mA  mB x  mBlcos  x L    m B l 2  m B l x cos   

代入保守系统的拉格朗日方程

L  0 x L   m B l x  sin   m B gl sin  

d L L ( ) 0  dt q j q j

( j  1,2, , f )

系统的运动微分方程:

   m A  m B   m B l cos    2 sin   0 x   x  l   cos   g sin   0

2012年5月25日 Friday

此为滑摆的运动微分方程

理论力学CAI 15

例题

与刚度为k 的弹簧相连的滑块A,质量为m1,可在光滑 水平面上滑动。滑块A上又连壹单摆,摆长l , 摆锤质量 为m2 ,试列出该系统的运动微分方程。

2012年5月25日 Friday

理论力学CAI

16

解:

将弹簧力计入主动力,则系统成为具有完整、理想 约束的二自由度系统。保守系统。取x ,  为广义坐标, x 轴 原点位于弹簧自然长度位置,  逆时针转向为

正。

2012年5月25日 Friday

理论力学CAI

17

2   v B  x 2  l 2 2    2 x l  cos 

系统动能:

2 T  1 m1 x 2  1 m2 v B  1 m1 x 2  1 m2 ( x 2  l 2 2  2 xl cos  )       2 2 2 2  1 ( m1  m2 ) x 2  1 m2l 2 2  m2 xl cos      2 2

2012年5月25日 Friday

理论力学CAI

18

系统势能:(以弹簧原长为弹性势能零点,滑块A所在平面重力势能零点

1 2 V  kx  m2 glcos 2

拉格朗日函数:

L  T V 1 1 1   2  m2l 2 2  m2 xlcos  kx 2  m2 glcos    ( m1  m2 ) x 2 2 2

2012年5月25日 Friday

理论力学CAI

19

L  T V 1 1 1 2 2 2 2      ( m1  m2 ) x  m2l   m2 xlcos  kx  m2 glcos 2 2 2

L L    ( m1  m2 ) x  m2 lcos  ,   kx  x x

d L    ( m1  m2 )  m2lcos   m2l 2sin  x  d t x

2012年5月25日 Friday

理论力学CAI

20

L  T V 1 1 1 2 2 2 2      ( m1  m2 ) x  m2l   m2 xlcos  kx  m2 glcos 2 2 2

L    m2l 2  m2 xl cos  ,  

L    m2 xl sin   m2 gl sin  

d L    ( )  m2l 2  m2 l cos   m2 xl sin  x  dt 

2012年5月25日 Friday

理论力学CAI

21

代入:

d L L ) 0 (  dt q j q j ( j  1,2,  , f )

系统的运动微分方程

   ( m1  m 2 )   m 2 l cos   m 2 l  2 sin   kx  0 x   x  cos   l   g sin   0

2012年5月25日 Friday

理论力学CAI

22

例题:双质点摆动力学方程

壹双质点摆,摆球 的质量分别为m1与m2 ,摆长分别为l1与l2 。试 建立该系统的运动微分方程。

解: 系统为2自由度系统,建立坐标系如图。

选广义坐标为1,2,取O点为零势能点。 则A、B点的速度:

A

B m1g m2g

 v1  l11

    v2  (l11 )  (l2 2 )  2l1l21 2 cos( 2  1 )

2 2 2

系统动能为:

1 1 2 2 T  m1v1  m 2 v2 2 2 1 1   2    m1l1212  m2 [l1212  l22 2  2l1l 21 2 cos( 2  1 )] 2 2

2012年5月25日 Friday 理论力学CAI

23

系统势能为:

V1  m1 gl1 cos 1

V2  m2 g (l1 cos 1  l2 cos  2 )

拉格郎日函数为:

L  T  V1  V 2  1 1      m 1 l12  12  m 2 [ l12  12  l 22  22  2 l1 l 2  1 2 cos(  2   1 )] 2 2  m 1 gl 1 cos  1  m 2 g ( l1 cos  1  l 2 cos  2 )

代入拉格郎日方程

L d L ( ) 0  dt qi qi

2012年5月25日 Friday 理论力学CAI 24

求偏导

L    ( m1  m2 )l121  m2 l1l2 2 cos( 2  1 )   1

L    m 2 l

22  2  m 2 l1 l 2  1 cos(  2   1 )   2

L    m 2 l1l 2 1 2 sin(  2   1 )  ( m1  m 2 )l1 g sin  1 1 L     m 2 l1l 2 1 2 sin(  2   1 )  m 2 l 2 g sin  2  2

得双质点摆运动微分方程为:

   ( m 1  m 2 ) l12 1  m 2 l1 l 2 2 cos(  2   1 )  2   m 2 l1 l 2  2 sin(  2   1 )  ( m 1  m 2 ) l1 g sin  1  0  2    m 2 l 2 2  m 2 l1 l 2 1 cos(  2   1 )   m l l  2 sin(    )  m l g sin   0  2 1 2 1 2 1 2 2 2 

2012年5月25日 Friday 理论力学CAI 25

范文四:拉格朗日方程

拉格朗日方程:对于完整系统用广义坐标(是用来描述系统位所需要的独1立参数,或者好少参数)表示的动力方程,通常系指第二类拉格朗日方程,是法数学家J.-L.拉格朗日shou先导出的。

通常可写成:

[1]

式中T为系统用各广义坐标qj和各广义速度妜j所表示的动能;Qj为对应于qj的广义力;(与 广义坐标 q i 对应的力 )N(=3n-k)为这完整系统的自由度;n为系统的质点数;k为完整约束方程个数。

完整系的拉格朗日方程

从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程,而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程,将这两者结合起来,便可得到不含约束力的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现式。

完整系的拉格朗日方程

拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程,也可以用来在给定系统运动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。如果要想求约束力,可以将拉格朗日方程与动静法或动量定理(或质心运动定理)联用。

拉格朗日力学

通常,我们将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学(也称矢量力学),将拉格朗日方程及建立在此基础上的理论称为拉格朗日力学。拉格朗日力学通过位空间描述力学系统的运动,它适合于研究受约束质点系的运动。拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的壹些问题的过程中起了重要的作用。

将动静法与虚位移原理结合,就得到了动力学普遍方程:受理想约束的质点系

将上式代入系统的动能表达式

在运动过程中,其上所受的主动力和惯性力在质点系的任何虚位移上所做的虚功之和为零。

动力学普遍方程尽被称之为方程,但在实际应用时,我们更应将它视为壹个原理:动力学普遍原理,它指导我们列写动力学方程。

如果你能熟练应用虚位移原理,则动力学普遍方程的应用将是壹个很熟识的过程:在考虑系统的主动力的同时再加入系统的惯性力,然后对该力系应用虚位移原理

在实际应用中,当加入系统的惯性力时,常常要补充运动学方程:系统的速度、加速度之间的关系。

广义力为

运用动力学普遍方程建立的独1立的动力学方程的个数等于系统的自由度,这壹点也是与虚位移原理相同。

壹般而言,如果要建立系统在特殊位置的动力学关系,可以考虑应用动力学普遍方程。如果要建立系统在任意壹般位置的动力学关系,则应考虑应用拉格朗日方程。

编辑本段拉格朗日方程

拉格朗日方程的壹般式是:

式中T为用各广义坐标qi和广义速度 qi导 表示的系统的动能;Qi为对应qi的广义力。方程式的个数等于系统的自由度N。保守系统中存在势函数V(q1,q2,…,qN;t),则广义力距Q=?V/?qi,又因V中不含qi,即?V/?qi=0,

故完整保守系统的拉格朗日方程为:

系统以B点为标准的势能V和系统的动能T为

d/dt(?L/?qi)-(?L/?qi)=0(i=1,2,…,N)

在非保守体系中,广义力不能用Q=?V/?qi表示,此时应引入广义势能U的概念,Q=?U/?qi-d/dt x?U/(dqi/dt).带入壹般式可以得到非保守体系的拉格朗日方程。

式中L=T-U为拉格朗日函数,它等于系统的动势T与位势U之和。上式与变分问题中的欧拉方程式相同,由此可导出哈密顿原理

范文五:拉格朗日方程

学 年 论 文

题目:

光电效应的应用

学 生: 张韩佩 学 号: [1**********]4 院 (系): 理学院 专 : 应用理学 指导教师: 罗道斌

2014 年 11月15日

目录

要......................................................... 关键字.....................................................

Abstract……………………………………………………………1 Key Words…………………………………………………………1. 1引言………………………………………………………………1 2 光电效应的概念……………………………………………1 3光电效应的实验规律………………………………………..2 4光电效应和经典理论的矛盾处……………………………….5 5光电效应的科学释…………………………………………………7 6光电效应在近代技术中的应用.......................... 6.1常用的光学器件............ 6.2常用光学器件的检测 7结束语

参考文献………………………………………………………7

光电效应的应用

理121: 指导教师:罗道斌 (陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021)

摘要

本文介绍了光电效应的发现及其发展,简要叙述了爱因斯坦的光量子假说对光电子效益的解释及

其通过实验来验证了爱因斯坦的光量子假说对光电效应解释的正确性,并介绍了光电效应在现代科学技术中的应用。

关键字:光电效应;光量子;频率;相对论

The Use Of The Lagrange Equation To Balance

Abstract: By Lagrange's equations pushed to this article, and can cause the ap -plication of t

he balanced system set out to illustrate the Lagrangian of the feasibility and ease of application of the balanced system, and illustrates a more typical issues and ways to solve the problem.

Key Words: Lagrange; balance; binding; generalized coordinates

1引言

牛顿运动力学[1]作为描述体运动的重要方程大家都有了解,但本文介绍的拉格朗日方程,在力学体系特别是动力学体系有着举足轻重的地位,同时在平衡问题上也发挥了壹定的作用,本文将带大家了解并熟悉这壹方程,和它在平衡问题上的运用.

2拉格朗日简介

拉格朗日方程 Lagrange equation 从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程,而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程,

将这两者结合起来,便可得到不含约束力的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现式。 拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程,也可以用来在给定系统运动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。如果要想求约束力,可以将拉格朗日方程与动静法或动量定理(或质心运动定理)联用。 通常,我们将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学(也称矢量力

3拉格朗日方程的推导

拉格朗日方程的判定是由其坐标的性质决定的。直接有广义坐标所表示的方程就是拉格朗日方程[2]。我们常以q来表示广义坐标,而壹个系统所拥有的广义坐标个数是由系统的自由度和约束条件所确定,壹般满足s=3n-k(其中那位所含体的个数,k是系统的约束条件个数,s是广义坐标个数)。

当确定了广义坐标后,该系统的

体位置即可表示为:

程[3]中的

(1) 利用上式将达朗贝尔

用广义坐标表示出来就可得到拉格朗日方程,推导如下: 由(1)式得

(2) 将(2)式代入达朗贝尔

方程得: (3)

化简(3)式得:要使(4)式成立则

系数为0即:

(4)

或写为

(5)

(6)

其中我们把式如下:

称作广义力,即由广义坐标所表示的系统所受合力的量,为方便计算,我们降介(6)

(7)

又有(1)式中知道

于是可以用广义坐标表示出系统的动能T

(8)

(9)

由(8)和(9)式得出T

对和的导数 : (10)

再将(10)和(11)式代入到(7)式即可得到

(11)

(12)

其中我们就把(12)式称作理想完整体系的普遍拉格朗日方程,也就是壹般方程,就是我们所求的好终方程,但由于在理论基础上我么通常所求的系统壹般都是保守力,所以壹般方程就可以进行壹定的变换。即我们可以把保守力用

-来表示,那么广义力

可表示如下:

(13)

将其代入(12)式可得

(14)

我们令

有V为保守力能量即势能,则只与

和t有关则(14)式可改写

(15) 则(15)式就是理想完整条件下所

受力是保守力[4]的拉格朗日方程,也就是我们在研究基础理论常要用到的方程。 当然为方便期间,当系统即有保守力又有非保守力时我们可以把非保守力用格朗日方程为:

表示出来则又有拉

(16) 有以上推导过程可知道拉格朗日方

程是描述体运动的动力学方程[5],即是另壹种标量式的动力学方程,就这壹方面而言,他比牛顿的矢量描述在计算上要简单的多。

4体平衡上的应用

4.1平衡体系中拉格朗日的特殊

作为动力学的拉格朗日方程[6]为何可以在平衡问题上加以运用,很明显,平衡也是壹种运动的状态,所以可以运用拉格朗日方程,有

这个式子我们知道,当体处于平衡状态时,他的速度唯

壹恒定值,也就是说是T个常数则在这种情况下,拉格朗日方程可以变为下式:

(17)

(18)

也就是说只需要知道系统所受的保守力的势能广义坐标表达式分方程就可以求出系统的位移表达关系式。同时根据

向。

(19) 可得出系统所受约束力的大小和方

,然后代入(18)式解微

4.2实例

下面举壹个实际的例子来说明拉格朗日方程在平衡问题[7]的运用。 如图1长度都为l的的轻棒四根,光滑的连成壹个菱ABCD.AB、CD两边支于同壹水平线上相距为2d的两个钉子M和N上.BD间用壹根绳联接,C点系壹重量P,设A点的顶角为

,求绳中的张力TF。

图1 轻棒连成菱图 图2 轻棒成菱受力分析图

解:本题所求的式体系平衡时的约束力[8]。拉格朗日方程不能求约束力。但我们把欲求的约束力看成主动力,而把相应的约束力解除,增加壹个自由度,则仍可以用拉格朗日方程来求体系平衡时的约束力。本题中将BD间的绳去掉,同时加上壹对主动力TF来表示,如图2,此图中的自由度为1,则取顶角为广义坐标,则有

(22) 将数值代入(17)式得

(23) 好后可求的TF的值

(24)

就得出了应求的值。

5结论

就以上所介绍的过程我们发现,拉格朗日方程是求受变化的力即主动力的作用下的体系的运动方程[9],似乎不适合对于平衡力的运用,但我们又同样知道力的平衡其实相当于两个或多个主动力之间的壹种特殊关系,而运动方程则是描述体在某壹时刻的运动状态,当然也包括了主动力的平衡这壹特殊情况。根据这壹思路,我们可以把平衡时所受的约束力解放成主动力,列出拉格朗日方程,求得运动方程,然后再加上约束条件求解。这种等效转换[10]的思想是我想要强调的,也是要在本文所体现的壹种思想。

当然对于平衡条件下的情况有好多种,壹些其他的论文有所阐述,这里不再赘述。

参考文献

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[4] 娄智美.质心系中的基本式的拉格朗日方程及其应用[J].大学理学报,2006. [5] 养丽,璋奇,马岗.拉格朗日方程在点的运动分析中的应用[J].华北电力大学学 报,2000. [6] Torby

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