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《非寿险精算答案》

来源:互联网收集 日期:2018-01-19 10:25:05 分类:入党申请书范文 阅读:
范文壹:非寿精算答案作

壹:假设某保单的损失服从指数分布,概率密度函数为f (x ; λ) =e -λx (x >0) 其中,λ为未知参数,如果该保单过去各年的损失观测值为(x 1, x 2 x n ) ,求参数λ的ji大似然估计。 二:假设某保险务的累积损失S 服从复合泊松分布,泊松参数为20,而每次损失的金额服从均值为100的指数分布,用正态近似求累积损失的99%的分位数。

加二:某保单规定的免赔额为20,该保单的损失服从参数为0.2的指数分布,求该保险人对该保险保单的期望赔款。 三:假设某公司承保的所有汽车每年发生交通事故的次数都服从泊松分布,而不同汽车的泊松分布参数不同,假设只取两个值(1或2),进壹步假设λ的先验分布

p (λ=1) =0. 6, p (λ=2) =0. 4,如果汽车壹年内发生4次事故,求该汽车索赔频率λ的后

分布

四:假设某险种的损失次数服从参数为0.2的泊松分布,对于壹次保险事故,损失为5000元的概率是80%,损失为10000元的概率是20%,请计算保险公司的累积损失的分布。 五:假设某保险人签发了两份保单A 和B ,每份保单可能发生的损失额及相应的概率如下表:

求累积损失概率。

六:假设保险务在壹年内是均匀分布,保险期限为1年,各日历年的已赚保费如下,2000年为200千元,2001年为250千元,2002年为300千元,好近几次的费率调整如下表, 七:假设每壹个风险单位的纯保费是175元,固定费用是12.5元,可变费用的比例是17.5%,而预期利润附加是5%,请计算每壹个风险单位的毛保费。

八:假设汽车第三者责任险保单的索赔频率是0.03. 平均赔付额是1500元,赔付额的方差是360000元,试问当保单组合的索赔次数为多大时就可以赋予完全可信性?保单组合应该包含多少份保单?(k=0.1,p=0.9)

(

y p k

) 2=384

十:假设某险种的保险期限为1年,新费率的生效日期是2005年7月1日,目标赔付率为60%,如果每年按5%的速度增长,请根据下表计算费率的调整幅度。

十壹:已知两个风险A 和B 的损失金额服从下述分布,,其中风险A 发生损失的概率是风险B 的两倍,如果已知某个风险在某次事故的损失额为300元,求该风险下次损失额的BL

十二:已知有四个风险等#的被保险人,每人可能发生的损失为2或者4,其分布如下表所示,随机选定某壹风险等#,并且从中选取四个被保险人,总的损失为4,如果从同壹风险等#中再抽取壹个被保险人,请用bl-s 信度模型估计这5个被保险人的总损失。 十三:假设不同被保险人的索赔频率相互独1立,每个被保险人在每月的索赔次数服从泊松分布,不同被保险人的泊松参数互不相同,泊松参数服从伽马分布,其密度函数为

(100λ) 6e -100λ

f (λ) =,假设保险人在过去4个月份的经验数据如下表所示,请应用bl-s

120λ

模型估计保险人在下个月的索赔次数。 经验损失数据

十四:某保险人签发了20000份汽车保险单,根据该保单组合的期望索赔频率,所有保单被分成A ,B ,C 三组,结果如下表所示,

保险事故,使计算该保单分别属于A ,B ,C 三个组别的概率是多少?

十五:某NCD 系统包括0%、30%、40%、50%、60%五个折扣组,转移规则如下: 1、年度无赔案发生,则升至更高壹个组别或停留在60%组别,

2、年度有壹次或者壹次以上赔案发生,将之0%组别或者停留在0%组别内,现有10000份同质机动车辆保险单,(均处在0%折扣组别),若赔案的发生相互独1立,且发生赔案的概率是2%,求

1、两年后某保单持有人在各组别的分布状况

2、达到稳定状态后,各组别保单持有人的分布状况 3、当达到稳定状态后,平均保费在全额保费中的比例。

十六:已知 100个人投保,这些投保的个体有相互独1立的索赔,索赔的均值和方差按照性别分别如下表:

设S 为总的索赔量,总的保险费按照E (S ) +2D (S ) 收取,这100个成员中,男女性别个数未知,设男性有N 个人,N 服从二项分布,b (100, 0. 4) 。求总保费为多少?

十七:设λ=2,p (x ) =0. 1x , x =1, 2, 3, 4,计算总索赔S 的分布f (S =x ), x =0, 1, 2, 3, 4的概率。

十八:由100000张同类医疗保单的组合,设被保险人的损失是相互独1立的,保单规定保险

若要求所收取的保费总额低于理赔总额的概率不超过5%,试确定安全附加保费 十九:壹个保险公司为投保人提供三种保险,其特征见下表:

将收取纯保费的(1+θ) 倍为保费,求相对附加保费θ,使得P (S ≥(1+θ) E (S )) =0. 05成立。

二十:某保险公司规定赔款好高限额是3000元时,超过分由投保人自己支付,随机变量X 即壹笔赔款的分布函数是F (x ) ,而F (x ) 遵从于 F (x ) =1-e

-0. 001x

X ≥0

试计算对壹笔赔款应由保险人支付平均额度。

二十壹:假设汽车保险的损失分布是参数(α=3, θ=100) 的帕累托分布: F (x ) =1-(

1003

) , x ≥0求免赔额为20时的赔偿期望值为多少?

x +100

二十二:假设某汽车保险的损失分布是参数(α=3, θ=100) 的帕累托分布: F (x ) =1-(

1003

) , x ≥0求赔额限额为200时的赔偿期望值为多少?

x +100

范文二:非寿精算答案整理

壹:假设某保单的损失服从指数分布,概率密度函数为f(x;)ex(x0)其中,为未知参数,如果该保单过去各年的损失观测值为(x1,x2xn),求参数的ji大似然估

ˆ解:利用ji大似然估计的方法,可以得到

n

x

i1

n

i

二:假设某保险务的累积损失S服从复合泊松分布,泊松参数为20,而每次损失的金额服从均值为100的指数分布,用正态近似求累积损失的99%的分位数。 解:

E(S)E(X)201002000

2

VAR(S)VAR(X)E(N)VAR(N)E(X)20(10021002)400000

分位数=E(S)2.326(S)3471

加二、某保单规定的免赔额为20,该保单的损失服从参数为0.2的指数分布,求该保险人对该保险保单的期望赔款。 解: 令Y

0,X20

为保险人的赔款随机变量

X20,X20

20

E(Y)E(X20X20)(x20)0.2e0.2xdx5e4

三、假设某公司承保的所有汽车每年发生交通事故的次数都服从泊松分布,而不同汽车的泊松分布参数不同,假设只取两个值(1或2),进壹步假设的先验分布为p(1)0.6,p(2)0.4,如果汽车壹年内发生4次事故,求该汽车索赔频率的后验分布。 解:P(x4)

4

4!

e P(x41)

11162

e P(x42)e 2424

e1

0.6P(1x4)10.2031

e162

0.6e0.42424

16e2

0.6P(2x4)10.7969

e162

0.6e0.42424

E()P(x4)1+P(2x4)2=1.7969

四:假设某险种的损失次数服从参数为0.2的泊松分布,对于壹次保险事故,损失为5000元的概率是80%,损失为10000元的概率是20%,请计算保险公司的累积损失的分布 解:为简化计算,假设壹个货币单位为5000元,

解:fs(0)ee0.20.818731 ,fs(1)fX(1)fS(0)0.20.8e0.20.130997

fs(2)

2

(fX(1)fS(1)2fX(2)fS(0))0.043229

六:假设保险务在壹年内是均匀分布,保险期限为1年,各日历年的已赚保费如下,2000解:如果把1998年生效的相对费率看做是1,则1999年生效的相对费率为1.08,2001年生效的相对费率为1.08*1.091.1772,2000年的相对费率为1*12.5%1.08*87.5%1.07,2001年的相对费率为1.08*12.5%+1.1772*12.5%=1.09215,2002年的相对费率为1.08*12.5%+1.1772*87.5%=1.16505,将所有年费的已赚保费调整到2002年的水平,可得等水平已赚保费为3100*1.1772/1.07+3200*1.1772/1.09215+3500*1.1772/1.16505=10396.28 八:某险种当年的相对费率和保费收入、过去三年的等水平已赚保费和经验损失数据如下表所示,假设A为基础类别,经验数据的可信度为40%,如果整体保费需要上调15%,请计算调整后的相对费率。

km1500

2

因此完全可信性所需的索赔次数不能小于nF384(10.4)445

又由于每份保单的索赔频率为0.03,所以发生445次索赔所需要的保单数为445/0.03=14848 十、假设某险种的保险期限为1年,新费率的生效日期是2005年7月1日,目标赔付率为60%,如果每年按5%的速度增长,请根据下表计算费率的调整幅度。

2005年7月1日签发的保单,其赔款平均在2006年7月1日支出。

因此把2003年的保单年度的好终赔款调整到2006年7月1日得水平即为

10001.052.51129.73,同样把2004年保单年度的好终赔款调整到2006年7月1日的

1.5

费率上调幅度=0.6716/0.6=12%

十壹:已知两个风险A和B的损失金额服从下述分布,,其中风险A发生损失的概率是风险B的两倍,如果已知某个风险在某次事故的损失额为300元,求该风险下次损失额的BL解:

1

E(x)()E(x1)(E(x2))12726.7

321

a(1505012726.7)2(808012726.7)210795755.56

33

VAR(X1)0.5(30015050)20.3(300015050)20.2(7000015050)2756242500

VAR(X2)0.6(3008080)20.3(30008080)20.1(700008080)2427467600



21

756242500427467600646650866.7 33nk59.899 z0.0164 2

ank

信度估计值为z(1z)12522.65

十二、已知有四个风险等#的被保险人,每人可能发生的损失为2或者4,其分布如下表所示,随机选定某壹风险等#,并且从中选取四个被保险人,总的损失为4,如果从同壹风险等#中再抽取壹个被保险人,请用bl-s

信度模型估计这5个被保险人的总损失。 4

2.85,0.71,a(2.222.62323.62)2.8520.2675

4

0.6011 0.714

0.2675

ˆz(1z)1.738 x

ˆ8.69 5xz

n

nk

十三、假设不同被保险人的索赔频率相互独1立,每个被保险人在每月的索赔次数服从泊松分布,不同被保险人的泊松参数互不相同,泊松参数服从伽马分布,其密度函数为

(100)6e100

f(),假设保险人在过去4个月份的经验数据如下表所示,请应用bl-s

120

模型估计保险人在下个月的索赔次数。

十四

十六:已知 100个人投保,这些投保的个体有相互独1立的索赔,索赔的均值和方差按照性

设S为总的索赔量,总的保险费按照E(S)2D(S)收取,这100个成员中,男女性别个数未知,设男性有N个人,N服从二项分布,b(100,0.4)。求总保费为多少?

,0.4),则总索赔解:设X表示男性索赔,Y表示女性索赔,N表示男性个数,N~b(100

为男、女之和,即

SX1X2XNYN1YN2Y100 E(X)2,D(X)4 E(Y)4,D(Y)10

则E(S)E(E(SN))

E(NE(X)(100N)E(Y)) 4002E(N)

=320

D(S)=E(D(SN))D(E(SN))

E(ND(X)(100N)D(Y))D(NE(X)(100N)E(Y)) 76096856

所以总保费为E(S)2D(S)=378.5

十七、设2,p(x)0.1x,x1,2,3,4,计算总索赔S的分布f(Sx),x0,1,2,3,4的概率。

壹:壹般解法: f(x)P(Sx)

P(SxNn)P(Nn)

n0

P

n0

*n

(x)P(Nn)

方法二:11223344

其中,Ni服从参数为pi的泊松分布,p(x)0.1x,x1,2,3,4

100000

解:设损失变量为L

100000

X

i1

i

,则理赔变量为

S0.8L0.8

X

i1

i

,又设安全附加费为,则保费总额为G(1)E(S)则根据题意

E(S)1060*100000

D(S)5439120100000

E(S)SE(S)E(S)

() 有P

D(S)D(S)D(S)

所以安全附加保费为1.645*5439120*100000=1213193.9

将收取纯保费的(1)倍为保费,求相对附加保费使得P(S(1)E(S))0.05成立。

解:设Xi代表第i类得个体索赔变量,Ii1表示第i类索赔发生,Ii0Ii为0-1变量,表示第i类索赔不发生,Bi代表在索赔发生的条件下,索赔的大小。则根据个体索赔量得定义,XiIiBi,且P(Ii1)qi,qi为索赔概率。 则E(Xi)iqi,D(Xi)iqi(1qi)i2qi

其中iE(BiIi1),i2D(BiIi1),且根据已知ii2成立 所以E(S)

3

2

nq

i

i

i1

3i1

i

5000.2510000.15000.751500

2

D(S)ni(iqi(1qi)i2qi)=12687.5

查表的到:

E(S)D(S)

1.645所以0.1235

二十:某保险公司规定赔款好高限额是3000元时,超过分由投保人自己支付,随机变量X即壹笔赔款的分布函数是F(x),而F(x)遵从于F(x)1e0.001x试计算对壹笔赔款应由保险人支付平均额度。

X0

d

F(x)0.001e0.001x,(x0)

解:赔款额的概率密度是f(x)dx

0

因此根据赔偿限额的规定,我们得到

二十壹:假设汽车保险的损失分布是参数(3,100)的帕累托分布

1003

),x0求免赔额为20时的赔偿期望值为多少?

x100

50 解:E(X)11

10010031

E(X20)(1())15.28

311201003

F(20)1()0.4213

120

E(X)E(X20)

则赔款的期望值为E(Y)60

1FX(20)

二十二:假设某汽车保险的损失分布是参数(3,100)的帕累托分布

1003

),x0求免赔额为200时的赔偿期望值为多少? F(x)1(

x100

50 解:E(X)1110010031

E(X200)(1())44.44

31300

F(x)1(

解:将各进展年的因子相邻相除,得到相邻进展因子

文三:非寿精算201606

寿精算

壹、名词解释

1、到期风险单位数:也称为已经风险单位数,是指在壹定时期内保险人已经提供了相应的保险保障的风险单位数。

2、未到期风险单位数:是指在承保的风险单位数中,截至到某个时点,保险公司尚未提供保险保障的风险单位数。

3、已赚保费:也称作满期保费,是指在保险人所收保费中,已尽保险责任所对应的那分保费。

4、未赚保费:也称作未到期保费,是指在保险人所收保费中,未尽保险责任所对应的那分保费。

5、纯费率:是指保险公司对每壹风险单位的平均赔款金额,通常用赔款总额与风险单位数之比进行估计,其计算公式为P

款总额,E 表示风险单位数。

6、赔付率:是指在每单位保费中用于支付赔款的分,通常用赔款与保费之比进行估计。

7、承保费用率:是每单位保费中用于支付承保费用的分。可以用承保费用和保费之比进行估计。

8、事故年度法:即按事故年汇总数据,是汇总精算数据好常见的方法。按事故年汇总数据就是以事故发生为统计标准,把发生在同壹日历年度的保险事故所对应的赔款和保费等数据汇总在壹起。

9、未决赔款准备金:是指在会计年度末,已经发生的赔案由于尚未处理(包括尚未报告)或赔付而必须提存的责任准备金。

10、未到期责任准备金:又叫保费准备金。是指当年承保的务在会计年度末尚未到期,在下壹年度仍然有效的保险合同按照未到期的时间提存的准备金。

二、简答题

1、确定保险产品市场销价格的方法

(1)使用保险市场上或竞争对手的相同产品的价格;

(2)根据利润目标确定价格;

L ,P 表示纯费率,L 表示赔E

(3)在期望保险成本的基础上增加壹个百分比来确定价格,增加的这个百分比相当于费用附加和利润附加;

(4)根据市场供求关系确定价格;

(5)基于再保险费率确定市场价格。

2、数据汇总的方法

(1)事故年度法:按事故年汇总数据就是以事故发生为统计标准,把发生在同壹个日历年度的保险事故所对应的赔款和保费等数据汇总在壹起。

(2)保单年度法:按保单年汇总数据就是以保单生效日期为统计标准,把在同壹个日历年度生效的保单所对应的赔款和保费等数据归集在壹起。

(3)日历年度法:按日历年汇总数据就是把发生在同壹日历年度的会计数据归集在壹起,而不论这些保单何时签发,相应的事故何时发生。

(4)报案年度法:按报案年汇总数据就是以保险事故的报案时间为统计标准,把在同壹个日历年度报案的赔款数据归集在壹起,而不考虑事故的发生日期和保单的生效日期。

3、赔款数据调整的内容

(1)剔除经验数据中的异常损失,然后将其在壹个较长的时期内分摊;

(2)应用链梯法等技术将经验期的已付赔款或已报案赔款进展到好终赔款;

(3)根据保障水平的变化和通货膨胀等因素对经验期的赔款进行趋势调整,得到新费率使用期的期望赔款。

4、纯保费法与赔付率法的比较

(1)区别

纯保费法是建立在每个风险单位的损失基础上的,它需要严格定义的风险单位。若风险单位不易认定或在各风险单位间不壹致,则纯保费不适用。如火灾保险。

损失率法不适用于新务的费率厘定。因为损失率法得到的是指示费率的变化,他需要当前费率和保费经验的记录 。

在均衡保费难以计算时,纯保费法更为适用。

(2)联系

本质上等价,赔付率法是纯保费法的另壹种表现式。

5、惩系统的含义及其构成

(1)含义:对上壹保险年度没有发生索赔的投保人,在下壹年度续保时给予保费上的优待,而对于上壹保险年度发生索赔的投保人,则在下壹保险年度提高其保费。

(2)壹个完整的惩系统必须包括三个要是:保费等#;起始组别;转移规则,即依据上壹年的赔案记录决定在折扣组别间转移的规则。

6、未到期责任准备金评估的主要方法

(1)比例法:在保费收取、风险分布均匀的假设下,采用比例法。

比例法的假设条件为:保费收入在壹年(季、月)中是均匀流入的,与之相对应的风险在保险期内也是均匀分布的,从而未到期责任准备金与未经历的保险合同期长度成正比。

①月比例法(1/24法):假定保费收入在年度不平衡,而在月份内均匀分布。 在会计年度末,好后壹个月内保费收入可看作月中收到,它已尽责任半个月,为全年的1/24。其余的23/24则看作尚为实现的未赚保费。

②日比例法(1/365法):根据实际务的承保期限逐单对未到期责任准备金进行评估的壹种方法

(2)风险分布法:在不满足均匀分布的情况下,采用风险分布法。

①流量预期法:根据承保务的历史损失数据估计未来预期的风险分布状况,并以风险比例来确定未到期责任准备金的壹种方法

②七十八法则和逆七十八法则:从1月到12月,所有月份1,2,…,11,12的数字之和为78。七十八法则和逆七十八法则是对流量预期法的壹种简化。七十八法则在评估未到期责任准备金时,假设自保单生效日开始,风险分布呈逐月递减的趋势。而逆七十八法则假设自保单生效日开始,风险分布呈逐月递增的趋势。

7、保险公司费用的分类

(1)承保费用,包括代理人佣金、壹般理费用、广告费用和税金。 在费率厘定中,承保费用通常被区分为固定费用和变动费用两大类

(2)理赔费用。保险公司在结案过程中发生费用,壹般分为两种:直接理

赔费用(ALAE) 和间接理赔费用(ULAE)。在厘定保险费率时,通常将直接理赔费用与赔款合并在壹起处理,而将间接理赔费用按赔款的壹定比例分配。

范文四:非寿精算

寿精算

壹、名词解释

1、到期风险单位数:也称为已经风险单位数,是指在壹定时期内保险人已经提供了相应的保险保障的风险单位数。

2、未到期风险单位数:是指在承保的风险单位数中,截至到某个时点,保险公司尚未提供保险保障的风险单位数。

3、已赚保费:也称作满期保费,是指在保险人所收保费中,已尽保险责任所对应的那分保费。

4、未赚保费:也称作未到期保费,是指在保险人所收保费中,未尽保险责任所对应的那分保费。

5、纯费率:是指保险公司对每壹风险单位的平均赔款金额,通常用赔款总额与风险单位数之比进行估计,其计算公式为P

款总额,E 表示风险单位数。

6、赔付率:是指在每单位保费中用于支付赔款的分,通常用赔款与保费之比进行估计。

7、事故年度法:即按事故年汇总数据,是汇总精算数据好常见的方法。按事故年汇总数据就是以事故发生为统计标准,把发生在同壹日历年度的保险事故所对应的赔款和保费等数据汇总在壹起。

8、未决赔款准备金:是指在会计年度末,已经发生的赔案由于尚未处理(包括尚未报告)或赔付而必须提存的责任准备金。

二、简答题

1、确定保险产品市场销价格的方法

(1)使用保险市场上或竞争对手的相同产品的价格;

(2)根据利润目标确定价格;

(3)在期望保险成本的基础上增加壹个百分比来确定价格,增加的这个百分比相当于费用附加和利润附加;

(4)根据市场供求关系确定价格;

2、数据汇总的方法

L ,P 表示纯费率,L 表示赔E

(1)事故年度法:按事故年汇总数据就是以事故发生为统计标准,把发生在同壹个日历年度的保险事故所对应的赔款和保费等数据汇总在壹起。

(2)保单年度法:按保单年汇总数据就是以保单生效日期为统计标准,把在同壹个日历年度生效的保单所对应的赔款和保费等数据归集在壹起。

(3)日历年度法:按日历年汇总数据就是把发生在同壹日历年度的会计数据归集在壹起,而不论这些保单何时签发,相应的事故何时发生。

(4)报案年度法:按报案年汇总数据就是以保险事故的报案时间为统计标准,把在同壹个日历年度报案的赔款数据归集在壹起,而不考虑事故的发生日期和保单的生效日期。

3、赔款数据调整的内容

(1)剔除经验数据中的异常损失,然后将其在壹个较长的时期内分摊;

(2)应用链梯法等技术将经验期的已付赔款或已报案赔款进展到好终赔款;

(3)根据保障水平的变化和通货膨胀等因素对经验期的赔款进行趋势调整,得到新费率使用期的期望赔款。

4、纯保费法与赔付率法的比较

(1)区别

纯保费法是建立在每个风险单位的损失基础上的,它需要严格定义的风险单位。若风险单位不易认定或在各风险单位间不壹致,则纯保费不适用。如火灾保险。

损失率法不适用于新务的费率厘定。因为损失率法得到的是指示费率的变化,他需要当前费率和保费经验的记录 。

在均衡保费难以计算时,纯保费法更为适用。

(2)联系

本质上等价,赔付率法是纯保费法的另壹种表现式。

5、惩系统的含义及其构成

(1)含义:对上壹保险年度没有发生索赔的投保人,在下壹年度续保时给予保费上的优待,而对于上壹保险年度发生索赔的投保人,则在下壹保险年度提高其保费。

(2)壹个完整的惩系统必须包括三个要是:保费等#;起始组别;转移规则,即依据上壹年的赔案记录决定在折扣组别间转移的规则。

6、未到期责任准备金评估的主要方法

(1)比例法:在保费收取、风险分布均匀的假设下,采用比例法。

比例法的假设条件为:保费收入在壹年(季、月)中是均匀流入的,与之相对应的风险在保险期内也是均匀分布的,从而未到期责任准备金与未经历的保险合同期长度成正比。

①月比例法(1/24法):假定保费收入在年度不平衡,而在月份内均匀分布。 在会计年度末,好后壹个月内保费收入可看作月中收到,它已尽责任半个月,为全年的1/24。其余的23/24则看作尚为实现的未赚保费。

②日比例法(1/365法):根据实际务的承保期限逐单对未到期责任准备金进行评估的壹种方法

(2)风险分布法:在不满足均匀分布的情况下,采用风险分布法。

①流量预期法:根据承保务的历史损失数据估计未来预期的风险分布状况,并以风险比例来确定未到期责任准备金的壹种方法

②七十八法则和逆七十八法则:从1月到12月,所有月份1,2,…,11,12的数字之和为78。七十八法则和逆七十八法则是对流量预期法的壹种简化。七十八法则在评估未到期责任准备金时,假设自保单生效日开始,风险分布呈逐月递减的趋势。而逆七十八法则假设自保单生效日开始,风险分布呈逐月递增的趋势。

7、保险公司费用的分类

(1)承保费用,包括代理人佣金、壹般理费用、广告费用和税金。

在费率厘定中,承保费用通常被区分为固定费用和变动费用两大类

(2)理赔费用。保险公司在结案过程中发生费用,壹般分为两种:直接理赔费用(ALAE) 和间接理赔费用(ULAE)。在厘定保险费率时,通常将直接理赔费用与赔款合并在壹起处理,而将间接理赔费用按赔款的壹定比例分配。

范文五:非寿精算答案--孟生旺版

《非寿精算学》勘误表与参考答案

(孟生旺 刘乐平 编著,中人民大学出版社2007版)

勘误表

(2008年8月)

2. 第37第9行的“Pr[Z≥(3.5μ)/σ]”改为“Pr[Z≥(3.5−μ)/σ]”。 3. 第37倒数第6行的“x0=1”改为“x0=−1”。 4. 第51第3行,帕累托分布的有限期望函数改为:

,共有四处,分别在第10,19,26行。 1. 第37的所有乘号“⋅”应改为减号“−”

⎥, α≠1 ⎥⎦222

5. 第60倒数14行的“E[(X∧u)]”改为“E[(X∧200)]”,下壹行的“E[(X∧200)]”

2

。 改为“E[(X∧u)]”

6. 第62倒数12行的“800”改为“100”。

。 7. 第101第10行的两处“ϕ”改为“φ”8. 第121倒数14行中删去“

θ⎡⎛θ⎞

E(X∧d)=⎢1−α⎜⎟

α−1⎢θd+⎝⎠⎣

α−1

∑X

i=1

n

2

i

9. 第124倒数14行的“观察到的索赔次数”改为“观察年数”。 10. 第125第9和第10行的“Xj”改为“Xt”。 11. 第127图5-2的横轴标题改为“观察年数”。

12. 第128倒数10行的“平均每辆汽车”改为“每辆汽车”。 13. 第129第12行的“Xj”改为“Xt”。

14. 第133第4行增加“v(θ)=Var(Xj|Θ=θ)”。

15. 第1375.5.1节开头增加壹句:“在Bühlmann信度模型中,假设每个风险的规模不变,

且它们的观察年数相等,即mij=1,ni=n”。

nn

11216. 第138第4行的“u。 ˆi=∑(Xit−i)”改为“vˆi=(Xit−i)2”∑n−1t=1nt=1

17. 第140倒数11行的“vˆ=

ˆ=∑wvˆ” ∑wv”改为“v

iii=1

iii=1

r

r

第1章 非寿险与非寿精算

(略)

第2章 损失模型

2.1

对于随机损失X,当免赔额为d时,保险人需要支付的赔款Y=⎧⎨

x−d,x>d

0,其他

,⎩⎧

0,x≤0其密度函数为f=⎪Y(x)⎨f(x+d)d,x>0 ⎪⎩1−FE(Y)=∫∞0xf∞f(x+d)∞f⎛

⎜x+1⎞λ⎟

Y(x)dx=∫0x⋅1−Fdx=∫0x⎝1−F⎛⎜1⎞

x

⎝λ⎟

∫∞

−λ⎛

⎜⎝x+1⎞

λ⎟⎠

=

x⋅λe

dx

=

1

x⋅λe−λxdx=

1

1−F⎛⎜1⎞⎡∫⎡⋅

1

⎝λ⎟

⎢⎣

1−F⎛⎜1⎞⎤0

⎝λ⎟⎠⎥⎦e

1−F⎛⎜1⎞⎤λ⎝λ⎟⎠⎥⎦e F⎛⎜⎜1⎞⎜⎝λ⎠=1−e−1⇒E(Y)=1λ

2.2

shou先将2005年和2006年的损失折现到2004年中

2005年平均损失金额的折现值为:1200×11+10%

=1090.9

2006年平均损失金额的折现为:1500×1

1+10%2

=1239.7 2004年的平均损失金额为:E(x)=13×1090.9+2

3

×1239.7=1190.1

而Pareto(α,λ)分布的期望是E(x)=

λα−1

所以,由1×1090.9+2

3×1239.7=1190.1=

λ33−1

,得λ = 2380.2 2.3 E(x)=∫

x2λ20

(λ+x)3dx

2−1

=λ 由题意可知,2007年平均索赔金额的期望值为:

1

3

(500×1.053+600×1.052+700×1.05)=658.44 即:E(x)=658=λ

从而,λ的矩估计值为658。

2.4

λ=

n

∑x

i=1

n

=

i

1 2.5 2.6

Mx(t)=E(e)=∫e

tx

tx

∑aiλie

i=1

n

−λix

dx=∑ai(1−

i=1

n

t

λi

−1,(t20⎩

E(Y)=E(X−20X>20)=∫

+∞20

(x−20)f(x)dx=∫20(x−20)0.2e−0.2xdx=5e−4

+∞

16−2λ4−λ1

P(x=4λ)=e,P(x=4λ=1)=e−1, P(x=4λ=2)=e

244!24

e−1

×0.6P(λ=1x=4)=−1=0.2031

e16−2

×0.6+×e×0.42424

16−2

×e×0.4=0.7969 P(λ=2x=4)=−1

e16−2

×0.6+×e×0.42424

2.9

E(λ)=P(λ=1x=4)×1+P(λ=2x=4)×2=0.2031×1+0.7969×2=1.7969

2

μ=E(S)=λE(X)=20×100=2000σ2=Var(S)=Var(X)E(N)+Var(N)[E(X)]

=λVar(X)+[E(X)]E[(S−E(S))3]

{

2

}

=20(1002+1002)=400000

λE(X3)12×107===0.474γ=333/2

400000σσ

422σα=2=17.778,β==6.667×10−3,x0=μ−=−666.67

γγσγ

分位数=3687

2.10 为简化计算,假设壹个货币单位为5000元。

fS(0)=e−λ=e−0.2=0.818731,fS(1)=λfX(1)fS(0)=0.2×0.8×e−0.2=0.130997fS(2)=

λ

2

[fX(1)fS(1)+2fX(2)fS(0)]=0.043229

FS(x)

依此类推,其他计算结果如下表所示。

fS(x) x

2.11 累积损失小于5000元的概率为0.67,MATLAB计算程序如下: clear all; lambda=2; fx(1)=0.2; fx(2)=0.5; fx(3)=0.2; fx(4)=0.1;

fs(1)=exp(-lambda);%S=0的概率,下标用1表示 for s=2:6;

for y=1:min(s-1,4);

z(y)=y*fx(y)*fs(s-y); z=sum(z); end;

fs(s)=lambda/(s-1)*z; end;

p=sum(fs)

2.12 应用随机模拟,模拟50000次的结果:均值=1.4*104,方差=1.036*107。随机模拟的MATLAB程序代码如下:

for i=1:50000;%模拟50000次

n(i)=poissrnd(20);%根据参数为20的泊松分布生成损失次数的随机数n(i) u=unifrnd(0,1,1,n(i));%生成n(i)个(0,1)区间上均匀分布的随机数

x=300.*(1+(1-u).^(-1/4));%生成n(i)个参数为(4,300)的帕累托分布的随机数S(i)=sum(x);%生成累积损失S的壹个随机数 end;

E=mean(S);%计算累积损失的均值 V=var(S);%计算累积损失的方差 2.13 累积损失大于4的概率为0.3. MATLAB程序代码如下: fx(1)=0.3; fx(2)=0.5; fx(3)=0.2; m=3;

fs(1)=exp(-lambda);%S=0的概率,下标用1表示 for s=2:5;

for y=1:min(s-1,m);

z(y)=y*fx(y)*fs(s-y); z=sum(z); end;

end;

p=1-sum(fs)

⎧1,火灾发生

2.14 设I=⎨,q = P (I = 1) = 0.04。对好高赔偿额为Ai 的第i类保单,设

0,火灾不发生⎩

Xi为其理赔总额,Yji,j = 1,…,ni为第j份保单获得的赔付额,则

Xi=Y1(i)+"+Yn(ii)

(j = 1,…,ni)独1立分布,设其分布与IBi相同,Bi ∼ U (0,Ai),ui = E (Bi) 其中对每个i,Yji,

= Ai / 2,σi2=var(Bi)=Ai2/12,则总赔付额S 为:

S=X1+X2+"+X5 E(S)=∑niuiqi=∑

i=1

i=1

5

5

niAi

qi2

=

0.04

(80×10000+35×20000+25×30000+15×50000+5×100000)=700002

5

2iii

2ii

5

5

niAi2niAi29

⎤nuqqnq−+=×+=×Var(S)=∑⎡(1)σ0.040.960.041.707210 ∑∑

ii⎣⎦

4i=1i=1i=112

⎡⎤

P[S0⎟2⎪⎝θ(1+β)⎠⎩θ(1+β)

2.16 设N表示下个月出行的航班数,N~B(n1,p1),n1=70,p1=0.98

E(N)=n1p1=68.6,Var(N)=n1p1(1−p1)=70×0.98×0.02=1.372

P 表示飞机上的人员数,M表示飞机上的乘客数,M~B(n2,p2),n2=200,p2=0.9,

Var(P)=200×0.9×0.1=18

令K表示出行中发生事故的航班数,则K=I1+I2+...+IN,

⎧1,q=0.00001

j=1,2,...,N Ij=⎨

0,1−q=0.99999⎩

E(K)=qE(N)=0.00001×68.6=0.000686

Var(K)=E[Var(IN)]+Var[E(IN)]=q(1−q)*E(N)+q2*Var(N)

=0.000010.99999×+0.000012×1.372=0.000686

令S表示下个月发生事故死亡的人员数:S=P1+P2+...+PK

P=6+M,

E(P)=6+200×0.9=186

E(S)=E(P)E(K)=186×0.000686=0.1276

Var(S)=E(K)Var(P)+E(P)2Var(K)=0.000686×18+1862×0.000686=23.745

第3章

3.1

x

费率厘定的基本原理

2

[()]lny−lna+xlnb。 ∑iii=15

由y=ab有lny=lna+xlnb,由好小二乘法,设S=

⎧∂S

⎪∂a=0令⎨,

∂S⎪=0⎩∂b

5

1⎧

()2lnlnln[]−−+=0yaxb∑ii⎪⎧5lna+∑xilnb=∑lnyi⎪a

,⎨ 有⎨5i=12

1⎪−∑2[lnyi−(lna+xilnb)]⋅xi⋅=0⎩∑xilna+∑xilnb=∑xilnyi

⎪b⎩i=1

⎧lna=6.691233

解得,⎨

lnb=0.088695⎩

∴lny=6.691233+0.088695×6=7.223404,y=1371.148

λαα−1−λx

3.2 Y = 1.1X, P(x)=xe

Γ(α)

y

yλαα−1−λx

1.1

F(y)=P(Y1500⎩

21000−850012500

E(Y*)=E(X)−E(X∧1500)==

66

2004年每次损失的实际赔付额为:

*

⎡1500⎞⎤13500E(Y1*)13500⎛

E(Y)=1.05×⎢E(X)−E⎜X∧,==1.08 ⎟⎥=*

1.056E(Y)12500⎝⎠⎣⎦

故增长率为8%。

3.8 shou先计算引起赔付的概率:

v=P(X>50)=0.2+0.15+0.1+0.05)=0.5

PN*(z)={1−0.31+[0.5(z−1)−1]}

−10

=[1−0.15(z−1)]

−10

所以 N* 服从负二项分布,参数 β = 0.15,r = 10。

3.9 如果把1998年生效的相对费率看作1,则1999年生效的相对费率为1.08,2001年生效的相对费率为1.08*1.09=1.1772。2000年的平均相对费率为1*12.5%+1.08*87.5%=1.07,2001年的平均相对费率为1.08*87.5%+1.1772*12.5%=1.09215,2002年的平均相对费率为

1.08*12.5%+1.1772*87.5%=1.16505。将所有年份的已赚保费调整到2002年的水平,可得等水平已赚保费为3100*1.1772/1.07+3200*1.1772/1.09215+3500*1.1772/1.16505=10396.28。

3.10 下表中,在计算相对费率时,考虑了平衡调整。因此整体保费上调,不影响相对费率。

风险类别

过去三年的等水平已赚保费

过去三年的赔款

经验赔付率初步的调整系数

信度因子可信调整系数当年的保费收入

当年务经调整后的保费收入

平衡后的可信调整系数

当前的相对费率调整后的相对费率

合计 16000 0.3000 1.2000 0.4000 1.0800 6480 1.0810 1.0000 1.0000

15000 0.2333 0.9333 0.4000 0.9733 6327 0.9742 1.2000 1.0815

15000 0.2133 0.8533 0.4000 0.9413 5177 0.9422 1.3000 1.1331

46000 0.2500 17984

3.11 2003年签发的保单,其赔款平均在2004年1月1日支出。

2005年7月1日签发的新保单,其赔款平均在2006年7月1日支出。

因此,把2003保单年度的好终赔款调整到2006年7月1 日的水平即为:1000×1.052.5 = 1129.73。

同样,把2004保单年度的好终赔款调整到2006年7月1 日的水平即为:2000×1.051.5

=2151.86。

保单年度 根据当前费率计算的保费

好终赔款权重经趋势调整后的好终赔款

经验赔付率0.5649

平均经验赔付率 = 0.5649*0.3+0.7173*0.7 = 0.6716。 费率上调幅度 = 0.6716/0.6-1 = 12%。

第4章

4.1

地区

车型A的风险单位数车型B的风险单位数车型C的风险单位数前两年的风险单位数车型A的相对费率车型B的相对费率车型C的相对费率前两年的基本风险单位数

前两年的赔款

分类费率

甲 1000 2000 1200 4200 1.0000 0.7500 0.6500 3280 75000

乙 1500 3000 2500 7000 0.8500 0.6375 0.5525 4569 95000

合计 2500 5000 3700 11200 7849 170000

前两年的索赔次数

经验纯保费

当前务的基本风险单位数

初步的调整系数

信度系数可信调整系数

经(9)调整的当前务的基本风险

单位数

平衡后的可信调整系数

当前的相对费率调整后的相对费率

4.2

100 22.87 450 1.0557 0.3040 1.0169 458 1.0193 1.0000 1.00000

150 20.79 690 0.9600 0.3723 0.9851 680 0.9874 0.8500 0.82340

250 21.66 1140 1137

车型

第壹年的已赚保费

第壹年的费率第二年的已赚保费

二年的费率当前务的已赚保费

当前的费率

按当前费率折算的前两年的已赚保费

前两年的赔款前两年的索赔次数

经验赔付率初步的调整系数

信度系数可信调整系数

当前务经(13)调整后的保费收入

平衡后的可信调整系数

当前的相对费率调整后的相对费率

甲 乙 合计

130000 167821 297821 0.5819 1.0195 0.3040 1.0059 110650 1.0066 1.0000 1.0000

0.5622 0.9849 0.3711 0.9944 149161 0.9951 1.0769 1.0646

0.5708

259812

4.3(略) 4.4(略) 4.5(略) 4.6(略) 4.7(略) 4.8(略)

4.9 令地区的初始相对费率为:β1=β2=β3=1,则由

αi=

∑C

jijj

ij

∑nβ

和 βj=

j

∑C

iiji

ij

i

∑nα

可得第壹次的迭代结果如下:

α1=

1902029130

=1.2513,α2==1.3241

8000×1+5200×1+2000×113600×1+6000×1+2400×1

2229033990

=1.6390,β1==0.9831 α3=

4000×1+8000×1+1600×18000×1.2513+13600×1.3241+4000×1.6390

25620

=0.9295β2=

5200×1.2513+6000×1.3241+8000×1.6390

10830

β3==1.3044

2000×1.2513+2400×1.3241+1600×1.6390其他各次的迭代结果如下表所示。 第壹次 第二次 第三次 第四次 第五次

车型α1

车型α2 车型α3 地区β1 地区β2

1.3241 1.6390 0.9831 1.3194 1.6566 0.9849 1.3188 1.6579 0.9851 1.3187 1.6580 0.9851 1.3187 1.6580 0.9851 地区β3

因此“车型”和“地区”这两个分类变量的相对费率为

车型:α1=1.2423, α2=1.3178,地区:β1=0.9851,

β2=0.9270,

α3=1.6580

β3=1.3044

由此可得各风险类别的纯保费如下表所示。

类别 地区A 地区B 地区C

车型1

车型2

车型3

4.10 令地区的初始相对费率为:β1=β2=β3=1,则由

αi

∑nyβ=

ij

ij

j

ij

j

j

j

2

和 βj

∑nyα=

ij

ij

i

2ij

i

i

i

可得第壹次的迭代结果如下:

α1=α2=α3=

8000×1.0500×1+5200×1.3500×1+2000×1.8000×1

=1.2513

8000×12+5200×12+2000×1213600×1.2750×1+6000×1.2000×1+2400×1.9125×1

=1.3241 222

13600×1+6000×1+2400×14000×1.2750×1+8000×1.2000×1+1600×1.9125×1

=1.6390

4000×12+8000×12+1600×12

β1=β2=β3=

8000×1.0500×1.2513+13600×1.2750×1.3241+4000×2.0625×1.6390

=0.9974

8000×1.25132+13600×1.32412+4000×1.639025200×1.3500×1.2513+6000×1.2000×1.3241+8000×1.4250×1.6390

=0.9216222

5200×1.2513+6000×1.3241+8000×1.63902000×1.8000×1.2513+2400×1.9125×1.3241+1600×1.6500×1.6390

=1.2812

2000×1.25132+2400×1.32412+1600×1.63902

第四次 1.3202 1.6524 0.9998 0.9191 第五次 1.3202 1.6524 0.9998 0.9191 第六次 1.3202 1.6525 0.9998 0.9191 第七次 1.3202 1.6525 0.9998 0.9191 其他各次的迭代结果如下表所示。 第壹次 第二次 第三次

车型α1 车型α2 车型α3 地区β1 地区β2

1.3241 1.6390 0.9974 0.9216

1.3203 1.6522 0.9997 0.9192

地区β3

用好小二乘法厘定的相对费率为:

车型:α1=1.2421, α2=1.3202,地区:β1=0.9998,

β2=0.9191,

α3=1.6525

β3=1.2798

各风险类别的纯保费如下表所示。 类别 地区A 地区B 地区C

车型1

车型2

车型3

4.11 令地区的初始相对费率为:β1=β2=β3=1,则由

⎡nijyij2⎤⎡nijyij2⎤⎢∑⎥⎢∑⎥βαjji⎥ β=⎢i⎥ αi=⎢j⎢nijβj⎥⎢nijαi⎥⎢j⎥⎢i⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

可得第壹次的迭代结果如下:

0.5

0.5

⎡8000×1.05002/1+5200×1.35002/1+2000×1.80002/1⎤

α1=⎢⎥8000×1+5200×1+2000×1⎣⎦

0.5

=1.2767

0.5

⎡13600×1.27502/1+6000×1.20002/1+2400×1.91252/1⎤α2=⎢⎥13600×1+6000×1+2400×1⎣⎦⎡4000×2.06252/1+8000×1.42502/1+1600×1.65002/1⎤α3=⎢⎥4000×1+8000×1+1600×1⎣⎦

=1.3404

0.5

=1.6631

⎡8000×1.05002/1.2767+13600×1.27502/1.3404+4000×2.06252/1.6631⎤β1=⎢⎥8000×1.2767+13600×1.3404+4000×1.6631⎣⎦⎡5200×1.35002/1.2767+6000×1.20002/1.3404+8000×1.42502/1.6631⎤β2=⎢⎥×+×+×16001.663120001.276724001.3404⎣⎦⎡2000×1.80002/1.2767+2400×1.91252/1.3404+1600×1.65002/1.6631⎤β3=⎢⎥2000×1.2767+2400×1.3404+1600×1.6631⎣⎦

其他各次的迭代结果如下表所示。

第壹次 第二次

1.2767 1.2642 车型α1 车型α2 车型α3 地区β1 地区β2

1.3404 0.9190

1.3286 0.9157

第三次

1.2642 1.3277 0.9155 1.3025

第四次 1.2642 1.3277 0.9155 1.3025

0.5

=0.9789

0.5

=0.9190

0.5

=1.2998

第五次 1.2642 1.3277 0.9155 1.3025

1.2998 1.3024 地区β3

用好小χ2法厘定的相对费率为:

车型:α1=1.2642, α2=1.3277,地区:β1=0.9811,

β2=0.9155,

α3=1.6978

β3=1.3025

各风险类别的纯保费如下表所示。 类别 地区A 地区B 地区C

车型1

车型2

车型3

4.12 令地区的初始相对费率为:β1=β2=β3=1,则由

⎛yijn⋅⎜∑⎜ijβj⎝j

αi=

nij

j

⎞⎟⎟

⎠ 和 β=

j

⎛yijn⋅⎜∑⎜ijβi⎝jnij

i

⎞⎟⎟⎠

可得第壹次的迭代结果如下:

α1=α2=α3=

8000×1.0500/1+5200×1.3500/1+2000×1.8000/1

=1.2513

8000+5200+200013600×1.2750/1+6000×1.2000/1+2400×1.9125/1

=1.3241

13600+6000+24004000×1.2750/1+8000×1.2000/1+1600×1.9125/1

=1.6390

4000+8000+1600

β1=β2=β3=

8000×1.0500/1.2513+13600×1.2750/1.3241+4000×2.0625/1.6390

=0.9704

8000+13600+40005200×1.3500/1.2513+6000×1.2000/1.3241+8000×1.4250/1.6390

=0.9377

5200+6000+80002000×1.8000/1.2513+2400×1.9125/1.3241+1600×1.6500/1.6390

=1.3257

2000+2400+1600

第三次 1.3181 1.6664 0.9717 0.9355 第四次 1.3181 1.6665 0.9717 0.9355 第五次 1.3181 1.6665 0.9717 0.9355 其他各次的迭代结果如下表所示。 第壹次 第二次

车型α1 车型α2 车型α3 地区β1 地区β2

1.3241 1.6390 0.9704 0.9377

1.3186 1.6655 0.9716 0.9356

地区β3

用直接法厘定的相对费率为:

车型:α1=1.2408, α2=1.3181,地区:β1=0.9717,

β2=0.9355,

α3=1.6665

β3=1.3280

各风险类别的纯保费如表所示。 类别 地区A 地区B 地区C

车型1

车型2

车型3

4.13 令地区的初始相对费率为:β1=β2=1,

则由α=

i

∑ny

j

ijj

ijij

∑nβ

和 βj=

j

∑ny

i

iji

ijij

∑nα

i

可得第壹次的迭代结果如下:

300×10+500×15700×20+100×35

=13.1250,α2==21.8750α1=

300×1+500×1700×1+100×1

β1=

300×10+700×20500×15+100×35

=0.8831,β2==1.2571

300×13.1250+700×21.8750500×13.1250+100×21.8750其他各次的迭代结果如下表所示。 第壹次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次

车型α1

车型α2 地区β1

地区β2

由此可得各风险类别的纯保费如下表所示。

类别 车型1 车型2 地区A 地区B

4.14 令地区的初始相对费率为:β1=β2=1,

则由αi

∑nyβ=

ij

ij

j

ij

j

j

j

2

和 βj

∑nyα=

ij

ij

i

2ij

i

i

i

可得第壹次的迭代结果如下:

300×10×1+500×15×1700×20×1+100×35×1α1==13.1250,α2==21.8750300×1+500×1700×1+100×1β1=

300×10×13.1250+700×20×21.8750500×15×13.1250+100×35×21.8750

=0.8939,β2==1.306122

300×13.1250+700×21.8750500×13.12502+100×21.87502

其他各次的迭代结果如下表所示。 第壹次 第二次 第三次

10.9130 车型α1 车型α2 地区β1

23.8240 0.8939

0.8458

第四

10.7800 23.9300 0.8431

第五次 10.7470 23.9560 0.8425

第六次 第七次 10.7360 23.9640 0.8423

0.8422

地区β2

由此可得各风险类别的纯保费如下表所示。

类别 地区A 地区B

车型1

车型2

4.15 令地区的初始相对费率为:β1=β2=1,

⎡nijyij2⎤⎡nijyij2⎤⎢∑⎥⎢∑⎥βαjj⎥ β=⎢ii⎥ 则由αi=⎢j⎢nijβj⎥⎢nijαi⎥⎢j⎥⎢i⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

可得第壹次的迭代结果如下:

⎛300×102/1+500×152/1⎞

α1=⎜⎟

300×1+500×1⎝⎠

0.5

0.5

0.5

⎛700×202/1+100×352/1⎞

=13.3460,α2=⎜⎟

700×1+100×1⎝⎠

0.5

0.5

=22.4300

0.5

⎛300×102/13.3460+700×202/22.4300⎞

β1=⎜⎟

300×13.3460+700×22.4300⎝⎠⎛500×152/13.3460+100×352/22.4300⎞

=0.8646,β2=⎜⎟

500×13.3460+100×22.4300⎝⎠

=1.2482

其他各次的迭代结果如下表所示。

第壹次 第二次 第三次

车型α1 车型α2 地区β1 地区β2

24.4770 0.8646 1.2482

0.8257 1.3401

第四

24.5910 0.8236 1.3452

第五次 24.6200 0.8231 1.3466

第六次 第七次 24.6300 0.8230 1.3469

0.8229 1.3470

由此可得各风险类别的纯保费如下表所示。

类别 地区A 地区B

车型1

车型2

4.16 令地区的初始相对费率为:β1=β2=1,

⎛yij

⋅n⎜∑⎜ijβj⎝j

则由αi=

nij

j

⎞⎟⎟

⎠ 和 β=

j

⎛yij

⋅n⎜∑⎜ijβi⎝jnij

i

⎞⎟⎟⎠

可得第壹次的迭代结果如下:

300×10/1+500×15/1700×20/1+100×35/1

=13.1250,α2==21.8750α1=

300+500700+100

β1=

300×10/13.1250+700×20/21.8750500×15/13.1250+100×35/21.8750

=0.8686,β2==1.2190

300+700500+100

其他各次的迭代结果如表所示。 第壹次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次

车型α

1

车型α2 地区β1

地区β2

由此可得各风险类别的纯保费如表所示。

类别 地区A 地区B

车型1

车型2

4.17 车型:a1,a2 地区:b1,b2 边际总和法的公式:

车型A的边际总和:300*a1*b1+700*a1*b2 = 3000+14000 ⇒ a1=17000/(300* b1+700* b2) 车型B的边际总和:500*a2*b1+100*a2*b2 = 7500+3500 ⇒ a2=11000/(500*b1+100*b2) 甲地区的边际总和:300*a1*b1+500*a2*b1=3000+7500⇒ b1=10500/(300*a1+500*a2) 乙地区的边际总和:700*a1*b2+100*a2*b2=14000+3500⇒ b2=17500/(700*a1+100*a2)

所以,如果令a1=a2=1,则有

b1=10500/(300*a1+500*a2)=17,b2=17500/(700*a1+100*a2)=18.33 a1=17000/(300* b1+700* b2)=0.74,a2=11000/(500*b1+100*b2)=0.27

地区的初始费率为1(迭代2次的结果)

甲地区 乙地区 车型A 车型B

a1 a2 b1 b2

1 1 17 18.33

0.74 1.27 15.28 22.20

0.67 1.36

车型A 车型B 甲地区 乙地区

a1 a2 b1 b2

车型的初始费率为1(迭代2次的结果)

1 1 13.125 21.875

0.88 1.26 11.75 23.52

0.85 1.34

4.18 令k1和k2的取值满足下述条件:

(logRαl+k1)=0, (logRβl+k2)=0

其中αl和βl是好小相对费率,在本例中 αl=1.0031, βl=1.0557。 相对费率好小的类别,其点数为0,即n=(logRαl+k1)+(logR令 R=1.025,则 k1 = -0.1253, k2 = -2.1952 μ = 200,R=1.025,k1 = -0.1253, k2 = -2.1952

风险类别

车型α1 车型α2 地区β1 地区β2

相对费率 点数

βl+k2)=0

B=μ⋅R(−k1−k2)=188.86,n=(logRαi+k1)+(logRβj+k2)

Pij=B⋅Rn=188.86×1.025n

第5章 经验费率

2

5.1 在正态近似假设下,根据分信度的平方根法则,na=anF

a2=

na800==0.5⇒ a=0.7071 nF1600

2

2

5.2 在索赔额为常数的情况下:

⎛Φ−1(0.05)⎞⎛1⎞⎛1.645⎞2

⎟==1082.4,nZnnF=⎜==⎜⎟×1082.4=270.6 ⎜⎟ZF⎜⎟0.05k⎝2⎠⎝⎠⎝⎠

2

5.3

μ=E[z]=E[a1x+a2y]=a1E[x]+a2E[y]=a1μ+a2μ→a1+a2=1

22222

Var[z]=Var[a1x+a2y]=a12Var[x]+a2Var[y]=a12σx+a2σy=a12σx2+(1−a1)2σy

∂∂2222

Var[z]={a12σx}=2a1σx+(1−a1)2σy−2(1−a1)σy=0 ∂a1∂w1

2

σyσx2

⇒a1=2, a2=1−a1=2

22

σx+σyσx+σy22

分子分母同时除以σxσy得:

22 (1/σy)(1/σx)a1=,a2=2222

(1/σx)+(1/σy)(1/σx)+(1/σy)

5.4 当α=10%,r=10%时,索赔频率的完全可信度标准为271,因此索赔强度的完全可信

2

度标准为271×1 =271。

5.5

E[X]=(2/3)×E[X|Θ=1]+(1/3)×E[X|Θ=2]=(2/3)×15050+(1/3)×8080=12726.7a=(2/3)*(15050−12726.7)2+(1/3)×(8080−12726.7)2=10795755.56

Var[X|Θ=1]=0.5×(300−15050)2+0.3×(3000−15050)2+0.2×(70000−15050)2=756242500Var[X|Θ=2]=0.6×(300−8080)2+0.3×(3000−8080)2+0.1×(70000−8080)2=427467600v=(2/3)×756242500+(1/3)×427467600=646650866.7k=v/a=59.899

n1

==0.01642n+k1+59.899

信度估计值为:Z+(1−Z)E(X)=0.01642×300+(1−0.01642)×12726.7=12522.65

5.6 Z=

E[X]=(2/3)×E[X|Θ=1]+(1/3)×E[X|Θ=2]=(2/3)×15050+(1/3)×8080=12726.7a=(2/3)*(15050−12726.7)2+(1/3)×(8080−12726.7)2=10795755.56

Var[X|Θ=1]=0.5×(300−15050)2+0.3×(3000−15050)2+0.2×(70000−15050)2=756242500Var[X|Θ=2]=0.6×(300−8080)2+0.3×(3000−8080)2+0.1×(70000−8080)2=427467600v=(2/3)×756242500+(1/3)×427467600=646650866.7k=v/a=59.899

n1

==0.01642n+k1+59.899

信度估计值为:Z+(1−Z)E(X)=0.01642×300+(1−0.01642)×12726.7=12522.65

5.7 v=E[Var(N|Λ)]=E(Λ)=1 Z=

(2−0)21

a=Var[E(X|Λ)]=Var(Λ)==

123

m14v1

k===3,m=5+6+3=14,z===0.8235

m+k14+3a2+4+06x==,μ=E[E(x|Λ)]=1

1414

6

2007年估计值为:3×[×0.8235+1×(1−0.8235)]≈1.588

14

5.8 类别 概率 均值 方差

Ⅰ 1/4 2.2 0.36 Ⅱ 1/4 2.6 0.84 Ⅲ 1/4 3 1 Ⅳ 1/4 3.6 0.64

μ=2.85 v =0.71

a=

1

(2.22+2.62+32+3.62)−2.852=0.2675 4

4

=0.6011 4+

0.2675

ˆ=z⋅+(1−z)⋅μ=1.738 x

ˆ=8.69 5xz=

n

=n+k

5.9 =

6+8+1125

==0.0463,

120+180+240540

1

+τ(6+1)

6 v=E[Var(x|λ)]=E(λ)==100τ(6)

12()⋅τ(6+2)

62622 −(a=Var[E(x|λ)]=Var(λ)=E(λ)−E(λ)==

τ(6)10010000

∴z=

540

=0.84375,

540+

0.0006

μ=E(x)=E[E(x|λ)]=0.06

n

=n+k

第四个月:

300×[z⋅x+(1−z)⋅μ]=300×[0.84375×0.0463+(1−0.84375)×0.06]=14.53125

5.10 R = 2,N = 3

6+5+46+7+85+7

=5,2==7,==6332112

ˆ12=(1+0+1)=1,σˆ2σ=(1+0+1)=1

22

1+1

ˆ=E(Var[x|Θ])=v=1

2

ˆ51v

ˆ=Var(E[x|Θ])=[(5−6)2+(7−6)2]−= a

133

ˆ1n35ˆ=vˆ=k==0.6,z==ˆ5/3an+k3+0.66

5131

1+(1−zˆ)=×5+×6=估计值1:6665141ˆ)=×7+×6=2+(1−z估计值2:6661=

5.11

7+8+5+66+9+7A==0.52,B==0.333

12+18+9+1113+16+1526+22==0.51,v==0.51

50+44

50×(0.52−0.51)2+44×(0.333−0.51)2−(2−1)×0.51a==0.0187

94−(502+442) 94

Kˆ=0.510.0187=27.33,ZˆA=5050+27.33=0.647,Zˆ44B

=44+27.33

=0.617则A的估计值为:ZˆAA+(1−ZˆA)=0.647×0.52+0.353×0.51=0.5165则B的估计值为:Z

ˆBB

+(1−ZˆB

)=0.617×0.333+0.383×0.51=0.40085.12

=

73+80+65+7065+65+634=72,=+754=67,μˆ=72+67

2=69.5

σ

ˆ(73−72)2+(80−72)2+(65−72)2+(70−72)2

x=4−1

=59.333σ

(65−67)2+(65−67)2+(63−67)2+(75−67)2

ˆy=4−1=29.333vˆ=σˆx+σˆy59.333+29.333(72−69.5)2+(67−69.5)

2

2=2=44.33,aˆ=2−1=12.5

Zˆ=4=0.534+

12.5

则B的信度保费为:+(1−Zˆ)μˆ=0.53×67+0.47×69.5=68.17

5.13

v

ˆ=[2000(0−3)2+1000(5−3)2+1000(6−3)2+1000(4−3)2+450(15−10)2 +250(2−10)2+175(15−10)2+125(15−10)2]/[4+4−2] =12,291.67

(1)Zˆ1000Y

==0.5822, 5000×3+1000×10

1000+

=5000+1000=4.1667

17.125

少年组的估计值为: 0.5822×10+0.4178×4.1667=7.5628(2)Zˆ50000.8745×3+0.5822×10

A

=5000+

=0.8745, μˆ=0.8745+0.5822=5.7977

17.125

少年组的估计值为: 0.5822×10+0.4178×5.7977=8.2443

5.14

A的期望损失:E[X|Θ=1]=450,B的期望损失:E[X|Θ=2]=480风险集合的期望损失:

μ=E[X]=(2/3)×E[X|Θ=1]+(1/3)×E[X|Θ=2] =(2/3)×450+(1/3)×480=460假设均值的方差:

a=(2/3)×(460−450)2+(1/3)×(460−480)2=200Var[X|Θ=1]=0.5×(500−450)2+0.5×(400−450)2=2500Var[X|Θ=2]=0.8×(500−480)2+0.2×(400−480)2=1600过程方差的均值:

v=(2/3)×2500+(1/3)×1600=2200,k=v/a=2200/200=11Z=

n11

==n+k1+1112

信度估计值为:Z+(1−Z)E(X)=

115360×300+(1−×460==446.67121212

第6章

6.1

6.2

提出索赔后,投保人今后的缴费序列为:

惩系统

1000×(1−25%),1000,1000×(1−25%),1000×(1−40%),1000×(1−40%)……

即:750,1000,750,600,600,……

如果不进行索赔,投保人今后的缴费序列为:

1000×(1−25%),1000×(1−40%),1000×(1−40%),1000×(1−40%),1000×(1−40%)……

即:7500,6000,6000,6000,6000…… 故两个数列的差额 = 400+150 = 550

p0⎡1−p0

⎢(1) 转移矩阵为:1−p00⎢⎢1−p0⎣00⎤

p0⎥⎥ p0⎥⎦

2

其中p0=90%,则两年后各组别的分布状况为

p0⎡1−p0

[1000000]⎢0⎢1−p0

⎢1−p0⎣00⎤

p0⎥⎥=[[1**********]] p0⎥⎦

即:0%组别1000人,10%组别900人,20%组别8100人

(2) 在稳定状态下:

⎡0.10.90⎤⎢⎥⎢00.9⎥=[π0π1π2] [π0π1π2] 0.1⎢⎥⎢00.10.9⎥⎣⎦

⎧1⎪π0=⎪

91得⎪

⎨π9⎪

1=91

⎪⎪⎩

π2=8191即:0%组别110人,10%组别989人,20%组别8901人

(3) 当达到稳定状态后平均保费在全额保费中的比例为:

110+989×0.9+8901×0.8

10000

=0.812

6.3 转移矩阵为:

⎡0.10.9

00⎢⎤⎢

0.050.050.90⎥⎢⎢

0.0500.050.9⎥⎥

⎣0.05

000.95⎥⎦在稳定状态下:

⎡0.10.9

00[⎢⎤π

0.050.050.90⎥0

π1π2π3]

⎢0.0500.050.9⎥⎥

=[π0

π1π2π3]⎢

⎣0.05

000.95⎥⎦解得:

⎧⎪π0=0.25

⎪⎨

π1

=0.25⎪π2

=0.25 ⎪⎩π3=0.25

达到稳定状态后保险公司每年保费收入为:

1000*500*0.25+1000*500*0.25+1000*500*0.25+1000*500*0.25=125000

6.4 由已知条件可知:转移概率矩阵为:

0%15%30%

0%−pp15%1−p0p

30%01−pp p=P(N=0)=

λ0

λ30!

e−=e−0.=0.7408

设(π0,π1,π2)为稳态概率分布,则有如下方程组:

⎧0.2592⎪π0+0.2592π1+0π2=π0

⎪⎨

0.7408π0+0π1+0.2592π2=π1

⎪0π0+0.7408π1+0.7408π2=π2⎪⎩π0+π1+π2=1

⎧π0=0.0832⎪

解得:⎨π1=0.2376

⎪π=0.6792⎩2

因此,稳定状态下的平均保费为:

0.0832×1000+0.2376×(1000×85%)+0.6792×(1000×70%)=760

6.5 0%组:若无索赔,将来保费为800,700,700,700…… 若有索赔,将来保费为1000,800,700,700……

损失临界值为300元。同理,20%折扣组的临界值为400,30%折扣组的临界值为100。 其次,计算赔案发生时保单持有人索赔的概率:P(索赔赔案发生)

=P(m>x) 其中m为损失额,服从ln(

5,32

)

分布,x为损失的临界值。

∴P(m>x)=P(lnm>lnx)=1−Φ⎛⎜lnx−μ⎞

⎝σ⎟⎠

那么,0%组别:1−Φ⎛⎜ln300−5⎞

⎝3⎟⎠=1−Φ(0.235)=0.407

20%组别:1−Φ⎛⎜ln400−5⎞

⎝3⎟⎠=1−Φ(0.330)=0.371

30%组别:1−Φ⎛⎜ln100−5⎞

⎝3⎟⎠

=1−Φ(−0.132)=0.552

P(索赔)=P(索赔赔案发生)P(赔案发生)

索赔次数服从P(λ)分布,从而发生索赔的概率为1−e

−λ

=p0=0.1813

在稳定状态下,各组别人数比例为π0,π1,π2,则转移概率矩阵为:

⎛0.407×0.18131−0.0P=⎜407×0.1813⎞

⎜0.371×0.1813

01−0.371×0.1813⎟

⎜⎟ ⎝00.552×0.18131−0.552×0.1813⎟⎠若达到平衡状态,根据πP=π

⎧0.0738⎪π0+0.0672π1=π0可得方程组:⎪⎨0.9262π0+0.1001π2=π1

⎪0.9328π

1+0.8999π2=π2⎪⎩

π0+π1+π2=1300π0+400π1+100π2即为所求。

6.6 (1)转移概率矩阵为: 0% 15% 30%

⎡1−PP0 ⎢0⎤

⎢1−P0P0⎥ ⎢−P⎥

⎣10−P1P1P0⎥⎦

其中,P0是没有发生索赔的概率,P1是只发生壹次索赔的概率

(2)设π0,π0,π0,分别为在稳定状态下保单持有人的分布比率,则有:

⎡1−P0⎢1−P(π0,π1,π2,)0⎢⎢⎣1−P0−P1

P0P1

πππP0⎥⎥=(0,1,2,)

P0⎥⎦

P0=P(N=0)=P1=P(N=1)=

1-P0-P1=0.0172

λ0

0!

e−λ|λ=0.2=e−0.2=0.819,

λ1

1!

e−λ|λ=0.2=0.2e−0.2=0.1638

0⎤⎡0.1810.819⎢⎥=(πππ)

所以方程组变为:(π0,π1,π2,)0.18100.8190,1,2,⎢⎥

⎢⎣0.01720.16380.819⎥⎦

⎧π0=0.054⎪

解得:⎨π1=0.171

⎪π=0.775⎩0

所以在0%,15%,30%保单数分别为:1000×0.054=54,1000×0.171=171,1000×0.775=775

保费收入为:54×1000×1+171×1000×0.85+775×1000×0.7=741850(元)

6.7 转移概率矩阵为M

0%20%40%50%⎤⎡

⎢0%0.10.9⎥00⎢⎥M=⎢20%0.100.90⎥

⎢⎥40%0.1000.9⎢⎥⎢000.9⎥⎣50%0.1⎦

初始分布=[10000,0,0,0]

壹年以后的分布=[10000,0,0,0]×M = [1000,9000,0,0] 两年以后的分布=[1000,9000,0,0]×M = [1000,900,8100,0] 三年以后的分布=[1000,900,8100,0] ×M = [1000,900,810,7290] 稳态分布=[1000,900,810,7290] 注:三年以后加入稳态。

第7章 附加保费

7.1(略)

7.2(略) 7.3(略)

7.4 (本书题目中的风险个数应该分别为:A有10份保单,B有100份保单)

风险类型 风险个数 均值 方差

保单组合

保单组合的标准差为σ(S)=因为ε=1%,i=10%,故好优初始资本为

R=σ(S==89.77 相应地,好优的风险厌恶系数为

α=

|ln(ε)|

=0.0513 R1

在指数原理下:

⎛0.2⎞ln⎜⎟=5.78α⎝0.2−α⎠

1⎛1⎞B=ln⎜=1.027

α⎝1−α⎟⎠A=

在方差原理下:

A=5+

α

2

×25=5.64

B=1+

α

2

×1=1.026

在标准差原理下:

|ln(ε)|

×25=6.28R |ln(ε)|B=1+×1=1.05

RA=5+

第8章

8.1 保费收益率=437/3792=11.53%

保单年度 (1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计

保费收入 (2)

赔款现值(3)

初年可变费用 (4) 241.6 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

续年可变费用 (5) 0.0 52.1 54.7 57.4 60.3 63.3 66.5 69.8 73.3 76.9

初年固定费用(6) 142.40.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

资产份额模型

续年固定费用(7) 0.0 31.633.234.936.638.440.442.444.546.7

续保率 (8) 100%85%86%87%88%89%90%91%92%93%

累积续保率 (9) 100%85%73%64%56%50%45%41%38%35%

利润 (10) -184.0118.5116.8115.5114.7114.5114.9116.1118.1121.0

折现因子 (11)

利润现值 (12)

保费现值 (13) 800.0637.5514.0419.2345.9288.6243.5207.7179.2156.23791.7

800.0 600.0840.0 616.9882.0 634.3926.1 652.2972.4 670.61021.0 689.51072.1 709.01125.7 728.91182.0 749.51241.1 770.6

1.00 -184.0 0.89 105.8 0.80 93.1 0.71 82.2 0.64 72.9 0.57 64.9 0.51 58.2 0.45 52.5 0.40 47.7 0.36 43.6

437.0

计算说明:

第(2)栏从800元开始,每年增长5%。譬如,第二年的保费为800*1.05=840元。

第(3)栏从600元开始,每年因通货膨胀增长6%,因续保而降低3%,故每年的平均赔款是上年的1.06*0.97倍。譬如,第二年的平均赔款为600*1.06*0.97=617元。 第(4)栏的初年可变费用是保费的30.2%,即为800*30.2%=241.6元。

第(5)栏的续年可变费用是保费的6.2%。譬如,第二年的可变费用为840*6.2%=52.1元。 第(6)栏的初年固定费用是保费的17.8%,即为800*17.8%=142.4元。

第(7)栏的续年固定费用是初年保费的3.8%,且每年增长4%。譬如,第二年的固定费用为800*0.038*1.04=31.6元。

第(8)栏的续保率从85%开始,每年减少1%。

第(9)栏的累积续保率是以前年度的续保率向下累积的结果。譬如,第三年的累积续保率是前三年续保率的乘积,即为1*0.85*0.86=0.73。

第(10)栏的利润等于第(2)栏的保费减去第(3)栏的赔款、第(4)到第(7)栏的费用,再乘以累积续保率。譬如,第二年的利润为(840-616.9-52.1-31.6)*0.85=118.5元。

第(11)栏的折现因子按照12%的利率计算,譬如,第二年的折现因子为1/1.12=0.89. 第(12)栏是的利润现值等于第(10)栏与第(11)栏的乘积。 第(13)栏的保费现值等于第(2)栏与第(11)栏的乘积。

8.2 保费为976

保单年度 (1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计

保费收入 (2) 976 1024 1076 1129 1186 1245 1308 1373 1442 1514

赔款现值(3) 800 823 846 870 894 919 945 972 999 1028

初年可变费用 (4) 295 0 0 0 0 0 0 0 0 0

续年可变费用 (5) 0 64 67 70 74 77 81 85 89 94

初年固定费用(6) 96 0 0 0 0 0 0 0 0 0

续年固定费用(7)0 21 22 23 24 25 26 27 28 29

续保率 (8) 100%85% 86% 87% 88% 89% 90% 91% 92% 93%

累积续保率 (9) 100%85% 73% 64% 56% 50% 45% 41% 38% 35%

利润(10)-21599 [***********]122127

折现因子 (11)

利润现值 (12) -215 89 82 75 69 63 58 53 49 46 370

保费现值(13)976 778 627 511 422 352 297 253 219 191 4624

1.000.890.800.710.640.570.510.450.400.36

计算说明:

第(2)栏可以从壹个估计值开始,譬如从1000元开始,每年增长5%。

第(3)栏从800元开始,每年因通货膨胀增长6%,因续保而降低3%,故每年的平均赔款是上年的1.06*0.97倍。譬如,第二年的平均赔款为800*1.06*0.97=823元。 第(4)栏的初年可变费用是保费的30.2%。 第(5)栏的续年可变费用是保费的6.2%。 第(6)栏的初年固定费用是保费的17.8%。

第(7)栏的续年固定费用是保费的3.8%,且每年增长4%。 第(8)栏的续保率从85%开始,每年减少1%。

第(9)栏的累积续保率是以前年度的续保率向下累积的结果。譬如,第三年的累积续保率是前三年续保率的乘积,即为1*0.85*0.86=0.73。

第(10)栏的利润等于第(2)栏的保费减去第(3)栏的赔款、第(4)到第(7)栏的费用,再乘以累积续保率。

第(11)栏的折现因子按照12%的利率计算,譬如,第二年的折现因子为1/1.12=0.89。 第(12)栏是的利润现值等于第(10)栏与第(11)栏的乘积。 第(13)栏的保费现值等于第(2)栏与第(11)栏的乘积。

好后应用EXCEL的“规划求解”工具,令保费收益率的目标值等于8%,可变单元格为初年保费,可以求得满足条件的初年保费为976元。

8.3 保费为1014元

保单年度 (1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

保费收入 (2) 1014 1224 1453 1350 1232 1100 951 1213 1498 1809 2147 1994

赔款现值 (3) 800 823 846 870 894 919 945 972 999 1028 1056 1086

初年续年初年可变可变固定费用 费用 费用(4) (5) (6)306 0 1800 76 0 0 90 0 0 84 0 0 76 0 0 68 0 0 59 0 0 75 0 0 93 0 0 112 0 0 133 0 0 124 0

续年

固定费用(7)0 40 42 43 45 47 49 51 53 55 57 59

续保率 (8)100%85%86%87%88%89%90%91%92%93%94%95%

累积续保率 (9)100%85%73%64%56%50%45%41%38%35%33%31%

利润(10)-[**************]33 -4647 [1**********]6

折现因子(11)1.000.890.800.710.640.570.510.450.400.360.320.29

利润现值 (12) -273 217 277 160 77 18 21 53 77 95 65 605

保费现值 (13) 1014 929 847 611 438 311 216 224 227 228 227 179 5044

保险周期因子(14)1.001.151.301.151.000.850.700.851.001.151.301.15

计算说明:

第(2)栏可以从壹个估计值开始,譬如从1000元开始,每年增长5%后再乘以与第(14)栏对应的保险周期因子。

第(3)栏从800元开始,每年因通货膨胀增长6%,因续保而降低3%,故每年的平均赔款是上年的1.06*0.97倍。譬如,第二年的平均赔款为800*1.06*0.97=823元。 第(4)栏的初年可变费用是保费的30.2%。 第(5)栏的续年可变费用是保费的6.2%。 第(6)栏的初年固定费用是保费的17.8%。

第(7)栏的续年固定费用是保费的3.8%,且每年增长4%。 第(8)栏的续保率从85%开始,每年减少1%。

第(9)栏的累积续保率是以前年度的续保率向下累积的结果。譬如,第三年的累积续保率是前三年续保率的乘积,即为1*0.85*0.86=0.73。

第(10)栏的利润等于第(2)栏的保费减去第(3)栏的赔款、第(4)到第(7)栏的费用,再乘以累积续保率。

第(11)栏的折现因子按照12%的利率计算,譬如,第二年的折现因子为1/1.12=0.89。 第(12)栏是的利润现值等于第(10)栏与第(11)栏的乘积。 第(13)栏的保费现值等于第(2)栏与第(11)栏的乘积。

好后应用EXCEL的“规划求解”工具,令保费收益率的目标值等于12%,“可变单元格”为初年保费,可以求得满足条件的初年保费为1014元。

第9章

9.1(略) 9.2(略) 9.3(略) 9.4(略) 9.5(略) 9.6(略) 9.7(略)

费率厘定实务

9.8

省份 A

风险类别

风险单位数

赔款

纯保费

B

2.75 2.48 小计 2.79 2.83 3.63 小计 3.54

以A省的风险基础为权数,计算B省的加权平均纯保费为 (2.83*800+3.63*1080)/(800+1080)=3.29 A省的平均纯保费是B省的2.79/3.29=84.8%

将B省第1个风险类别的纯保费调整到A省的水平,为2.83*84.80%=2.40,此值可以作为A省第1个风险类别的信度补项。因此,A省第1 个风险类别的信度纯保费为 2.75*(1-40%)+2.40*40%=2.61

第10章 准备金评估方法

10.1 (略)

10.2

累积赔款 事故年 2001 2002 2003 2004 2005 进展因子

进展年

5+

97

1.5404

事故年 2001 2002 2003 2004 2005

1.1134 1.0758 1.0625

累积赔款的预测值

进展年

5+

144 163 190

136 143 97

149

166

153 179

事故年 2001 2003 2004 好终赔款

102 124 144 163 190

合计

准备金 0 7 18 35 93 153

10.3

累积索赔次数

事故年 2001 2002 2003 2004 2005 进展因子

事故年 2001 2002 2003 2004 2005

累积索赔次数的预测值

进展年

5+

400 363 112 事故年 2001 2002 2003 2004 2005 合计

10.4 事故年

累积已报案索赔次数

进展年

4+

238 333

好终索赔次数

431 396 好终索赔次数

386 422 436 470 431 2145

436 470 431

112

2.1213

进展年

1.4000

5+ 1.1894

1.0904

0-1 1.1929

事故年

索赔次数进展因子 1-2 2-3 1.0144 1.0055

索赔次数的预测值 进展年

4+

3-4+

1.0021

好终索赔次数

478 437 575 634

事故年

689

各个进展年在案均赔款中的贡献(增量案均赔款)

进展年

4+

0 4%

0 7%

简单平均 1 1 各进展年的贡献率

52%

28%

0 9%

事故年

增量案均赔款的预测(把案均赔款分解到各个进展年)

进展年

4+

未决赔款的预测(增量案均赔款乘以索赔次数)

进展年

事故年

4+

138.8313 150.9182

102.5178 112.9186 122.7494

44.56298 58.6825 64.6361 70.2634

488.6464

上表的准备金合计值为1355。

10.5 1500×

10.6

70%−50%

=375

80%

平均结转率(已报案准备金的平均进展因子)

1~2 2~3 3~4 0.4878 0.5946 0

个案准备金(已报案赔款准备金)的预测值

进展年

0~1

0.5561

事故年

2004 2005

983 956

520 532

个案准备金的支付率

进展年

04+

2002 2003 2004 52.09% 2005

支付率的简单平均值 62.06% 61.56% 65.33% 50.00%

未来赔款的预测值

进展年

事故年

4+

事故年

2001 2002 2003 2004 2005

593

320 327

150 166 169

68 75 77

254 259

151 154

上表的合计值为1991.9761。

10.7

已付赔款(重新排列)

事故年

已赚保费

进展年

事故年 已赚保费

进展因子 累积进展因子(f) 已付赔款比例(1/f) 未付赔款比例(1-1/f)

0~1 1.5 0~3 1.7 59% 41%

1~2 1.1333 1~3 1.133333

88% 12%

2~3 1.0000 2~3 1.0000 100% 0%

累积已付赔款

事故年 已赚保费

好终赔款和准备金的预测(B-F法)

累积已付赔款

累积已付赔款的预测值

未决赔款准备金合计 15624

10.8

进展因子 累积进展因子 准备金

3-4 4-好终 1.25 10 2-3 3-好终 1.53 56.67 1-2 2-好终 2.52 165.61 0-1 1-好终 1.067 288.70

10.9

增量赔款

12 26 19

18 15

24 25

21 20

累积赔款

链梯因子 10.10

已赚保费期望赔付率 期望好终赔款已报案赔款的累

事故年(3)=(1)*(2)积进展因子(4) (1) (2) 1 2 3 1 2 3

10.11 事故年 2000 2001 2002 2003 2004 索赔次数进展因子

期望未报案赔款 (6)= (3)*(5)

39.6 44.36 76.08

已报案赔款

(7) 4,120 4,370 3,500

修正好终赔款(8)(6)+(7) 4,159.60 4,414.36 3,576.08

已付赔款(9) 3,900 4,050 3,320

未决赔款准备金 (10)= (8)-(9) 259.60 364.36 256.08

5,000 5,600 4,850

80% 80% 80%

4,000 4,480 3,880

1.01 1.01 1.02

未报案赔款在好终赔款中

所占比率 (5)= 1-1/(4) 0.99% 0.99% 1.96%

12 18 15

38 42 40 2.67

57 63 60 1.5

累积已报案索赔次数

进展年

565

0-1 2.9392

1-2 1.0602

2-3 1.0275

4+

3-4+

1.0138

索赔次数的预测值

事故年 2000 2001 2002 2003 2004

进展年

4+

519 565

1532 1661

1624 1761

1669 1809

1692 1834

事故年 2000 2001 2002 2003

各个进展年在案均赔款中的贡献(增量案均赔款)

进展年

4+

1 1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1

1

2

2004 1 简单平均 1 1 1 1 1 各进展年的贡献率 22% 24% 22% 20% 13%

增量案均赔款的预测(把案均赔款分解到各个进展年)

进展年

事故年

4+

2000 2001 2002 2003 2004

1.3967

1.1957

0.75356 0.7536 0.7536 0.7536

事故年 2000 2001 2002 2003 2004

1.2724 1.1957 1.2724 1.1957

未决赔款的预测(增量案均赔款乘以索赔次数)

进展年

2152.6201

1790.9417 2022.8766

4+ 858.66238 1128.7174 1274.8914

2561.3440 2333.3446 2192.7084 1381.9256

未决赔款准备金(把上表相加)为17698 。

10.12 因为假设每壹赔案在报告年的间接理赔费用是其报告年之后时期的2倍,所以加权未决案件数是当年报案案件数与年末未决案件数之和,这相当于在加权未决案件数中把当年报案案件数计算了两次。

2004日历年 2005日历年 2006日历年

事故年

当年报案案件

2001 0 0 0 2002 280=1400×0.2 0 0 2003 480=1600×0.3 320=1600×0.2 年末未决案件数 2001 120=1200×0.1 0 0 2002 350=1400×(0.1+0.15) 140=1400×0.1 0 2003 800=1600×(0.1+0.15+0.25) 400=1600×(0.1+0.15)160=1600×0.1 加权未决案件数 2001 120=120+0 0 0 2002 630=280+350 140=0+140 0 2003 1280=480+800 720=320+400 160=0+160

因为2003年(加权)未决案均已付间接理赔费用为350元,且每年以5%的趋势增长,所以2003年12月31日的间接理赔费用准备金为:

350×1.05×(120+630+1280)+350×1.052×(140+720)+350×1.053×160 = 1142705

10.13

累积已付赔款 (单位:千元)

事故年

进展年

1

2

3

累积已付直接理赔费用款 (单位:千元)

进展年

事故年

2002 2003

1

2

3

累积已付直接理赔费用与累积已付赔款之比

进展年

事故年 2002 2003 2004 2005

0 6.25% 5.98% 6.69% 6.63%

1 8.54% 6.57% 8.19%

2 9.42% 7.11%

3

9.50%

累积直接理赔费用与累积已付赔款之比的进展因子

发展年

事故年 2003 2004 2005 加权平均

0~1 1.366 1.098 1.225 1.232

1~2 1.103 1.084 1.094

2~3 1.009 1.009

累积已付直接理赔费用与累积已付赔款之比的进展因子及其选定值

进展年

事故年 2002 2003 2004 2005

0~1 1.371 1.489 1.443 1.5

1~2 1.588 1.656 1.53 1.53

2~3 1.354 1.35 1.35 1.35

每100元好终已付赔款所导致的好终已付直接理赔费用 (单位:元) 事故年 2002 2003 2004 2005

进展年

0 6.25 5.98 6.69 6.63

1 8.54 6.57 8.19

2 9.42 7.11 12.53

3 9.50 9.60 16.92 20.55

9.95 15.22

直接理赔费用准备金的估计值 好终已付赔款 (千元)

9,060 9,980 9,400 9,500

好终直接理赔费用(千元)

861 959 1590 1952

累积已付直接理赔费用(千

元)

861 710 770 630

事故年

百元好终已付赔款的好终直接理赔费用(元)

9.50 9.60 16.92 20.55

直接理赔费用准备金(千元)

0 249 820 1322 637

2002 2003 2004 2005 合计

第11章

11.1(略) 11.2 事故年

2000 2001 2002 2003 2004

准备金评估实务

累积赔款

进展年

0 1 2 3

3124 [***********] [***********]5 1048413748 5123 11261 5463

4

5

12471

事故年

2000 2001 2002 2003 2004 事故年 2000 2001 2002 2003 2004 合计

0 3124 5247 4835 5123 5463

累积赔款的预测值

进展年

1 2 8226 10641 12433 15905 10484 13748 11261 14570

3

11895 17833

4 12471

12639 16352

15396 16316 18312

18697 16141 17106 19199

链梯模型的准备金评估 好终赔款 已付赔款 12471 12471 18697 17833 16141 13748 17106 11261 19199 5463 83615 60776 增量已付赔款的估计值

进展年

1 2 5102 2415 7186 3472 5649 3264 6138 3309

准备金

0 864 2393 5845 13736 22839

事故年 2000 2001 2002 2003 2004

0 3124 5247 4835 5123 5463

3 1254 1928

4 576

7176 3714

1648 1746 1960

864 746 790 887

日历年的未决赔款准备金

事故年

2005 2006

2000 0 2001 864 0 2002 1648 746 2003 3309 1746 2004 7176 3714 合计 12996 6206 折现至2004年 11604 4947

折现至2004年末的未决赔款估计值为19072 。

日历年 2007 0 790 1960 2750 1958

2008

2009

0 887 887 564

0 0

事故年 2000 2001 2002 2003 2004

0 4448 6670 5587 5533 5463

通胀调整后的增量已付赔款(调整到2004年)

进展年

1 2 3 6485 2791 1354 8304 3750 1928 6101 3264 6138 通胀调整后的累积已付赔款

进展年

0 1 2 4448 10933 13724 6670 14974 18724 5587 11688 14952 5533 11671 14714 5463 12103 15259 0-1 1-2 2.2154 1.2608

4

576

事故年 2000 2001 2002 2003 2004 进展期 进展因子

事故年 2000 2001 2002 2003 2004

0 3

15078 20652

4

15654

16465 16203 16803

2-3 1.1012

21441 17094 16822 17445

3-4 1.0382

1 6640

按现价计算的未来增量赔款

进展年 2 3 1513 3044 1488 3156 1544

准备金

0 789 2142 5151 11982 20063

4 789 629 619 642

事故年 2000 2001 2002 2003 2004

合计

通胀调整的未来增量赔款

进展年

1 2 3287 7171 3682

事故年

2000

2001 2002 2003 2004

0 3 1634 1736 1944 4 852 734 780 873

事故年 2000 2001 2002 2003 2004 合计

11.3

按8%的通胀率估计的准备金

准备金 0 852 2367 5803 13671 22693

2001~20052002~2005调整系数:调整到2005年的币值

事故年 2001 2002 2003

按照2005年币值计算的增量赔款

进展年

4+ 33.1 54.6 42.8

54.6 75.0 62.4

21.4 31.2 30

10.4 20

5

事故年 2001 2002 2003 2004 进展因子

按照2005年币值计算的累积赔款

进展年

4+ 33.1 87.7 109.2 119.6 124.6 54.6 42.8 52.0

129.6 105.2 112.0 2.3803

160.8 135.2 1.2561

180.8 1.1126

1.0418

事故年 2001 2002 2003 2004 2005

按照2005年币值对累积赔款的预测值

进展年

4+ 33.1 54.6 42.8 52.0 60.0

87.7 129.6 105.2 112.0 142.8

109.2 160.8 135.2 140.7 179.4

119.6 180.8 150.5 156.5 199.6

124.6 188.4 156.8 163.1 207.9

事故年 2001 2002 2003 2004 2005

按照2005年度的币值对增量赔款的预测值

进展年

4+

82.8

28.7 36.6

15.2 15.8 20.2

6.3 6.5 8.3

未决赔款准备金(按2005年度的币值计算)为228.1。

11.4

进展年 累积已报案赔款

1.2330

1.1309

1.0831

1.0539

逐年进展因子 1.7960

应用Bondy法,尾因子近似为1.0539

第12章

12.1 假设保险公司的赔款额为y:

再保险

E(y)=∫

2000

400

(x−400)f(x)dx+∫

6000

2000

(x−1000)f(x)dx+∫

+∞

6000

(x−2000)f(x)dx

=200e−2−1800e−10+1200e−10−5200e−30+4200e−30=27.07−0.027−0.00=27.04

12.2 (1) XA=⎨

⎧X,X≤2000

⎩2000,X>2000

(lnx−μ)2

2σ; XR=⎨

⎧0,X≤2000

⎩X−2000,X>2000

E(XA)=∫

=∫=∫

2000

02000

xf(x)dx+2000P(x>2000)

−02000

dx+2000P(lnx>ln2000)

0ln2000

(lnx−μ)2

2σ2

⎛⎛ln2000−5⎞⎞

dx+2000⎜1−Φ⎜⎟⎟

3⎝⎠⎠⎝

2ϖ2

=∫=∫

−∞7.6009

(t−(μ+σ2))2−σ4−2μσ2

dt+2000(1−Φ(0.867))

σ4+2μσ2

2σ−

(t−(μ+σ2))2

2ϖ−∞

dt⋅e

+2000(1−Φ(0.867))

2

⎛7.6009−(μ+σ2)⎞σ4+2μσ

⎟⋅e2σ2+2000(1−Φ(0.867))=Φ⎜

⎜⎟σ⎝⎠

=Φ(−2.133)⋅e9.5+2000(1−Φ(0.867))

=(1−0.98341)*13360+2000*(1−0.81)=602

(2)E(XR)=E(X)−E(XA)=eμ+0.5σ−602=12758 (3)

2

E(XR)PX>2000=

E(XR)PlnX>7.6009=

E(XR)12758

==67147 −⎛7.60095⎞1−0.81

1−Φ⎜⎟

3⎝⎠

⎧0,x≤1

12.3 再保险人的赔付随机变量设为Y,依题意有:y=⎨x−1,1≤x≤2

⎪1,x>2⎩

111

⇒E(Y)=∫0×f(x)dx+∫(x−1)f(x)dx+∫2f(x)dx=∫(x−1)dx+∫1×x=

33201212

12.4

(1)原保险人的赔付函数:

1

2

3

2

3

⎧x, x≤5⎪⎪⎪5, 535

(2)再保险人的赔付函数为:

⎧0,x≤5

⎪x−5,535

50

(3)P(X>5)=(4)E(g(x))=

12.5

145dx==0.9 ∫50505

10

5

(x−5)

3550111

dx+∫0.5x×dx+∫20×dx=11.875

1035505050

累积已报已报案赔经调整的

已赚风险已赚风险累积已报案赔款比款对应的期望赔付S-B方法链锑法的

率 的IBNR IBNR 事故年 纯保费纯保费 案赔款保费 例

合计

12.6

500

=992

1−20%)(1−10%)(1−25%−5%)(

12.7

E(X)=λ

α−1=100

αλ22Var(X)==150 2(α−1)(α−2)

α=3.6, λ=260

∞ 再保险人对每次事故承担的期望赔款为: E(XR)=∫xf(x)dx−r[1−F(r)]r

3.6×2603.6⎛260⎞dx=∫x−200⎜⎟ 200(260+x)3.6+1⎝260+200⎠∞3.6

=22.69

由于索赔频率为0.1,所以再保险公司的期望赔款为22.69×0.1= 2.269万元

12.8

计算本题,还需要进壹步假设每次事故的损失分布。如果采用例12-5的假设,即每次事故的损失金额是好大可能损失的100X%,而X服从参数为(0.1,2)的帕累托分布,则可以计算出超额赔款因子为0.366.

在再保险人看来,上述保险的期望损失为100*60%*1.1=66

再保险期望赔款=66*0.366=24.156

再保险费=24.156/[(1-30%)(1-15%)(1-10%)]=45.11

12.9

A:0;

B:90×(180-60)/180=60;

C:120×(300-60)/300=96

12.10

⎧0,x≤5⎪x−5,530

1030∞x−10E[g(x)]=(x−5)∫f(x)dx+f(x)dx+15∫f(x)dx ∫251030

上述E[g(x)]表示再保险对每次事故的期望赔款,包括零赔款在内。再保险人的零赔款是指虽然原保险人有赔款发生,但再保险人不会支付的赔款。在本题中,当赔款额小于5万时,再保险人的赔款为零。

12.11 W:40×25%=10; V:400×30%=120, 实际承担100。

41

X

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