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《双曲线光学性质》

来源:互联网收集 日期:2018-03-22 14:08:51 分类:党团范文 阅读:
范文壹:双曲线性质

椭圆与双曲线的对偶性质之双曲线篇(1)

杨志明

1.

2.标准方程:

3.

4.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

5.PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.

6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.

8.设A1、A2为双曲线的左、右顶点,则△PF1F2在边PF2(或PF1)上的旁切圆,必与A1A2所在的直线切于A2(或A1).

9.双曲线(a>0,b>0)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.

10.若在双曲线(a>0,b>0)上,则过

的双曲线的切线方程是

.

11.若在双曲线(a>0,b>0)外 ,则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.

12.AB是双曲线(a>0,b>0)的不平行于对称轴且过原点的弦,M为AB的中点,则.

13.若在双曲线(a>0,b>0)内,则被Po所平分的中点弦的方程是.

14.若在双曲线(a>0,b>0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是.

15.若PQ是双曲

线(b>a >0)上对中心张直角的弦,

.

16.若双曲线(b>a >0)上中心张直角的弦L

所在直线方程为

,则

(1)

;(2) .

17.给定双曲线则(i)

对:(a>b>0)

, :,上壹定点上任意给定的

点,它的任壹直角弦必须经

M(

(ii)

对点. 上任壹点. 在上存在唯壹的点,使得的任壹直角弦都经过

18.设为双曲线(a>0,b>0)上壹点,P1P2为曲线C的动弦,且

的充要条弦P0P1, P0P2斜率存在,记为k1, k 2, 则直线P1P2

通过定点

件是.

19.过双曲线(a>0,b>o)上任壹点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且(常数).

20.双曲线(a>0,b>o)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为双曲线上任意壹

点,则双曲线的焦点角的面积

.

椭圆与双曲线的对偶性质之双曲线篇(2)

杨志明

21.若P为双曲线(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任壹点,F1, F 2是焦点

,

, ,则(或).

22.双曲线

当当(a>0,b>o)的焦半径公式:(在右支上时,在左支上时,,,. .

, 23.若双曲线

1<e≤

项. (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当 时,可在双曲线上求壹点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中

24.P为双曲线

点,则

等号成立. (a>0,b>0)上任壹点,F1,F2为二焦点,A为双曲线内壹定,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时,

25.双曲线(a>0,b>0)上存在两点关于直线:对称的充要条件是.

26.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于壹点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

28.P是双曲线(a>0,b>0)上壹点,则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是.

29.设A,B为双曲线(a>0,b>0,)上两点,其直线AB与双曲线相交于,则.

30.在双曲

线中,定长为2m(m)0)的弦中点轨迹方程

,其中,当时

, .

31.设S为双曲线(a>0,b>o)的通径,定长线段L的两端点A,B在双曲线上移动,记

|AB|=

,是AB

中点,则当

时,有,);当时,有.

32.双曲线

. (a>0,b>0)与直线

有公共点的充要条件是

33

.双曲线

的充要条件是(a>0,b>0

)与直线. 有公共点34.设双曲线(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双

,

,,则

有曲线上任意壹点,在△PF1F2中,

.

35.经过双曲线(a>0,b>0)的实轴的两端点A1和A2的切线,与双曲线

. 上任壹点的切线相交于P1和P2,则

36.已知双曲线(b>a >0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且.(1);(2)|OP|2+|OQ|2的好小值为;(3

)的好小值是.

37.MN是经过双曲线(a>0,b>0)过焦点的任壹弦(交于两支),若AB

. 是经过双曲线中心O且平行于MN的弦,则

38.MN是经过双曲线(a>b>0)焦点的任壹弦(交于同支),若过双曲线中心O的半弦,则.

39.设双曲线(a>0,b>0),M(m,o)为实轴所在直线上除中心,顶点外的任壹点,过M引壹条直线与双曲线相交于P、Q两点,则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为两顶点)的交点N在直线:上.

40.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点,A为双曲线长轴上壹个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥NF.

41.过双曲线壹个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实

轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.

42.设双曲线方程,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线

:的共轭直线上,而且.

43.设A、B、C、D为双曲线

直线的倾斜角分别为(a>0,b>o)上四点,AB、CD所在,直线AB与CD相交于P,且P不在双曲线上,

.

44.已知双曲线

的焦点,(a>0,b>0),点P为其上壹点F1, F 2为双曲线的外(内)角平分线为,作F1、F2分别垂直于R、S,当P跑

遍整个双曲线时,R、S成的轨迹方程是

().

45.设△ABC三顶点分别在双曲线上,且AB为的直径,为AB的共轭直径所在的直线,分别交直线AC、BC于E和F,又D为上壹点,则CD与双曲线相切的充要条件是D为EF的中点.

46.过双曲线(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则.

47.设A(x1 ,y1)是双曲线(a>0,b>0)上任壹点,过A作壹条斜率为的直线L,又设d是原点到直线 L的距离,

. 分别是A到双曲线两焦点的距离,则

48.已知双曲线(a>0,b>0)和( ),壹条直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点,则│AB│=|CD│.

49.已知双曲线(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.

50.设P点是双曲线(a>0,b>0)上异于实轴端点的任壹点,F1、F2为其焦点记,则(1).(2) .

51.设过双曲线的实轴上壹点B(m,o)作直线与双曲线相交于P、Q两点,A为双曲线实轴的左顶点,连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN:于M,N两点,

则.

52.L是经过双曲线(a>0,b>0)焦点F且与实轴垂直的直线,

,若,则是锐A、B是双曲线实轴的两个焦点,e是离心率,点角且或(当且仅当时取等号).

53.L是经过双曲线(a>0,b>0)的实轴顶点A且与x轴垂直的

,e是离心率,,H直线,E、F是双曲线的准线与x轴交点,点

是L与X轴的交点c是半焦距,则是锐角且或(当且仅当时取等号).

54.L是双曲线(a>0,b>0)焦点F1且与x轴垂直的直线,E、F

,,离心率是双曲线准线与x轴交点,H是L与x轴的交点,点为e,半焦距为c,则为锐角且或

(当且仅当

时取等号).

55.已知双曲线(a>0,b>0),直线L通过其右焦点F2,且与双

曲线右支交于A、B两点,将A、B与双曲线左焦点F1

连结起来,则

(当且仅当AB⊥x轴时取等号).

56.设A、B是双曲线

上的壹点,, ,(a>0,b>0)的长轴两端点,P是双曲线,c、e分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1).(2)

.(3)

.

57.设A、B是双曲线(a>0,b>0)实轴上分别位于双曲线壹支、的横坐标,(1)若过

;(2)若过B

. 内(含焦点的区域)、外的两点,且A点引直线与双曲线这壹支相交于P、Q两点,则引直线与双曲线这壹支相交于P、Q两点,则

58.设A、B是双曲线(a>0,b>0)实轴上分别位于双曲线壹支内(含焦点的区域),外的两点,(1)若过A点引直线与双曲线这壹支相交于P、Q两点,(若B P交双曲线这壹支于两点,则P、Q不关于x

轴对称),且

,则点A、B的横坐标、满足;(2)若过B点引

,则点A、B的横直线与双曲线这壹支相交于P、Q两点,且

坐标满足.

59.设是双曲线的实轴的两个端点,是与垂直的弦,则直线与的交点P的轨迹是双曲线.

60.过双曲线(a>0,b>0)的右焦点作互相垂直的两条弦AB、CD,则

61.到双曲线(a>0,b>0)两焦点的距离之比等于

. (c为半焦距)的动点M的轨迹是姊妹圆

62.到双曲线(a>0,b>0)的实轴两端点的距离之比等于

. (c为半焦距)的动点M的轨迹是姊妹圆

63.到双曲线(a>0,b>0)的两准线和x

轴的交点的距离之比为(c为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆(e为离心率).

64.已知P是双曲线(a>0,b>0)上壹个动点,是它实轴的两个端点,且,,则Q点的轨迹方程是.

65.双曲线的壹条直径(过中心的弦)的长,为通过壹个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.

66.设双曲线(a>0,b>0)实轴的端点为,是双曲线上的点过P作斜率为,则 的直线,过分别作垂直于实轴的直线交

(1).(2)四边面积的好小值是.

67.已知双曲线

双曲线右焦点(a>0,b>0)的右准线与x轴相交于点在右准线上,

且,过的直线与双曲线相交于A、B两点,点轴,则直线AC经过线段EF 的中点.

68.OA、OB是双曲线(a>0,b>0,且)的两条互相垂直

的弦,O为坐标原点,则(1)直线AB必经过壹个定点.(2) 以O A、

O B为直径的两圆的另壹个交点Q

的轨迹方程是.

69.是双曲线(a>0,b>0)上壹个定点,P A、P B

是互相垂直的弦,则(1)直线AB必经过壹个定点

(2)以P A、P B为直径的两圆的另壹个交点Q的轨迹方程是

.

(且).

70.如果壹个双曲线虚半轴长为b,焦点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2,那么(1)曲线的渐近线.(2)

,且F1、F 2在 同侧

,且F1、F2在L同侧

直线L和双曲线相切,或是双直线 和双曲线相离,(3

,或F1、F2在L异侧直线L和双曲线相交.

71.AB是双曲线过

(a>0,b>0)的实轴,

、.

是双曲线上的动点,

的切线与过A、B的切线交于两点,则梯ABDC的对角线的交点M

的轨迹方程是

72.设点为双曲线(a>0,b>0)的内((含焦点的区的任壹弦.

域))壹定点,AB是双曲线过定点

(1)如,则当弦AB

垂直于双曲线实轴所在直线时

.

(2)如,则当弦AB平行(或重合)于双曲线实轴所在直线时

,

.

73.双曲线焦三角中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切.

74.双曲线焦三角的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点. 75.双曲线两焦点到双曲线焦三角内切圆的切线长为定值a+c与a-c. 76.双曲线焦三角的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c. 77.双曲线焦三角中,外点到壹焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

注:在双曲线焦三角中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.

78.双曲线焦三角中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.

79.双曲线焦三角中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 80.双曲线焦三角中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.

81.双曲线焦三角中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.

82.双曲线焦三角中,过任壹焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另壹焦半径所在直线平行.

83.双曲线焦三角中,过任壹焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长.

84.双曲线焦三角中,过任壹焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点.

85.双曲线焦三角中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.

86.双曲线焦三角中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线. 87.双曲线焦三角中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线. 88.双曲线焦三角中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.

89. 已知双曲线平行线,分别交轴于

,交轴于

上有壹点,

,过分别引其渐近线的

为原点,则:

(1); (2).

90. 过平面上的,交轴于

点作直线.(1)若

,则

的平行线,分别交

轴于的轨迹方程是

.(2)若,则

的轨迹方程是

.

91. 点为双曲线在第壹象限的弧上任意壹点,过

引轴、轴的平行线,交轴、轴于,交直线于,记

与的面积为,则:.

92. 点为第壹象限内壹点,过引轴、轴的平行线,交轴、

轴于

,交直线于,记

与的面积为

,已知

,则的轨迹方程是

.

范文二:椭圆和双曲线光学性质的简捷证明

中学教学参考

复习指津

椭圆和双曲线光学性质的简捷证明

浙江余姚中学(315400) 张 静

普通高中新课程标准实验教科书选修2-1的阅读与思考的内容之壹是介绍圆锥曲线的光学性质及其应用.关于这个内容很多学生都学生都提出了壹个问题:怎样证明圆锥曲线具有这些光学性质?特别是椭圆和双曲线.笔者思考后发现,虽然证明的方法较多,但怎样证明才较为简捷?下面提供壹种初等证明法,它的特点是避免了通常证明时遇到的繁复运算,聊作学生学习本节内容的注记.

为了给出证明的全过程,shou先列出两条引理,限于篇幅,不附加证明.学生自行完成不会有太大的困难.

[引理1]:椭圆2+2=1(a>b>0)上的点M(x0,

aby0)到焦点F1(-c,0),F2(c,0)的距离分别是a+ex0,a-ex0,其中e是椭圆的离心率.

[引理2]:双曲线2-2=1(a>0,b>0)上的点

baM(x0,y0)到焦点F1(-c,0),F2(c,0)的距离分别是ex0+a,ex0-a,其中是e双曲线的离心率.

x2y2

[定理1]:椭圆+=1(a>b>0)上的点M(x0,

aby0)处的法线是NF2MF1的平分线.

证:如图1,MN是M处的法线,MT是M处的切线,N、T在x轴上.

当x0=0时,命题显然成立.

当x0X0时,MN的方程a2y0

为y-y0=2(x-x0),

bx0

令y=0得N(e2x0,0).

^-a[x0[a,00,b>0)上的点

abM(x0,y0)处的切线是NF2MF1的平分线.

证:如图2,MT是M处的切线,MN是M处的法线,N,T在x轴上,显然T点在F1与F2之间.

MT的方程为y-y0=bx0

(x-x0),0

令y=0得T(,0),

x0

2+ca(+)

|TF1|x0x0aex0+a于是,==.2=|TF2|aex0-a

a(-)c-0ax0由引理2得即

|MF1|ex0+a

=,

|MF2|ex0-a

2

2

2

图2

图1

|TF1||MF1|

=,|TF2||MF2|

_直线MT是NF1MF2的平分线.

由此可推出法线MN是vF2MF1的外角NF2MQ的平分线.

结合理学中光的反射定律,定理2指出:光线从F2射出经M反射,犹如从F1射出经过点M的直射光线.这就是双曲线的光学性质.

[责任编辑:金 铃]

62

(中旬)2009.2总第5期

文三:2.3.2双曲线的性质3

课题 主稿人: 邱仕军 知识与技 能 过程与方 法 情感态度 与jz观

双曲线的简单几何性质(3)

审核人:丁莹莹

上课日期: 星期

掌握双曲线第二定义与准线的概念,并会简单的应用 主要采用探究实践、素结合与讲练相结合 培养学生分析问题和解决问题的能力及探索和创新意识

三维目标

教学重点 教学难点

双曲线的第二定义 双曲线的第二定义及应用.

教学过程(导入、授课内容、总结、作、板书设计) 1、复习回顾

备注

双曲线第二定义:当动点 M(x,y) 到壹定点 F(c,0)的距离和它到壹定直 线l : x 

c a2 的距离之比是常数 e   1 时,这个动点 M(x,y)的轨迹是双曲 a c

线。其中定点 F(c,0)是双曲线的壹个焦点,定直线 l : x 

a2 叫双曲线的壹 c

条准线,常数 e 是双曲线的离心率。双曲线上任壹点到焦点的线段称为焦 半径。例如 PF 是双曲线的焦半径。

2、新课讲授过程

x2 y 2  1 的准线方程、两准线间的距离。 (1)求  3 4

解:由

x2 y 2   1 可知 , 焦点在 x 轴上 , 且 c  3  4  7 所以准线方程 3 4 3 3 3 6 7 ;故两准线的距离为 .  ( ) 7 7 7 7

为: x  

(2)(2006 年广东高考第 8 题选择题)已知双曲线 3x 2-y 2 = 9,则双曲线 右支上的点 P 到右焦点 的距离与点 P 到右准线的距离之比等于( )。

1

(A)

2

(B)

2 3 3

(C) 2

(D) 4

(3)如果双曲线

x2 y2   1 上的壹点 P 到左焦点的距离为 9,则 P 到右准 25 144

线的距离是____ 解: P 到左准线的距离为 m,由双曲线方程可知 a=5,b=12,c=13, c 13 e  a 5 准线方程为 x  

a 2 25  c 13

根据双曲线第二定义得,

9 13 45 e m m 5 13

25 25 50 50 45 95  ( )   P到右准线的距离为   13 13 13 13 13 13 (4)双曲线两准线把两焦点连线段三等分,求 e. 又  两准线间的距离为

c a2 a2 1 c2 解: 由题意可知,  ( )   2c 即 2  3, 又 e  1 所以 e   3 a c c 3 a

x2 y2 (5) 双曲线的 2  2  1 a b

a > 0 ,b > 0 渐近线与壹条准线围成的三角

的面积是

.

b a2 ,渐近线方程为 y   x 因为当 a c

解 :由题意可知,壹条准线方程为 : x 

a2 b a2 ab 时 y   c a c c

x

所 以 所 求 的 三 角 面 积 为 :

1 ab ab a 2 a3b  [  ( )]  2 2 c c c c

3. 当堂练习 练习:已知双曲线的离心率为 2,准线方程为 y  2 x ,焦点 F(2,0),求双曲线 标准方程. 4.课后作 62 3 题,4 题

2

课后反思

3

范文四:双曲线及其性质3

双曲线及其性质

1.双曲线的概念:

(1)第壹定义:平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做 双曲线 .这两个定点叫做双曲线的 焦点 ,两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距 .

集合P={M||MF1-MF2|=2a},F1F2=2c,其中a、c 为常数且a>0,c>0:

①当ac时,P点的轨迹是双曲线; ②当a=c时,P点的轨迹是 两条射线 ; ③当ac时,P点不存在. (2)双曲线的第二义:

平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(e1)的点的轨迹为双曲线.

2.双曲线的标准方程和几何性质

x2y2x2y2

与双曲线221共渐近线的双曲线系方程为:22(0)

ababy2x2x2y2

与双曲线221共轭的双曲线为221

abba

等轴双曲线x2y2a2的渐近线方程为yx ,离心率为e2.; [难点正本 疑点清源]

1.双曲线中a,b,c的关系双曲线中有壹个重要的Rt△OAB(如右图), 它的三边长分别是a、b、c.易见c2=a2+b2, c1

若记∠AOB=θ,则e==.

acos θ

2.双曲线的定义用代数式表示为|MF1-MF2|=2a,其中2a

(2)2a

①当MF1-MF2=2a时,曲线仅表示焦点F2所对应的壹支; ②当MF1-MF2=-2a时,曲线仅表示焦点F1所对应的壹支; ③当2a=F1F2时,轨迹是壹直线上以F1、F2为端点向外的两条射线; ④当2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在. 3.渐近线与离心率:

x2y2b-=1 (a>0,b>0)=aba

ac-ae-1.可以看出,双曲a

线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小. 自我检测:

1.若双曲线方程为x2-2y2=1,则它的左焦点的坐标为( ) A.-

250 B.-,0

226,0 2

D.(3,0)

C.-

x22

2.若双曲线-y=1的壹个焦点为(2,0),则它的离心率为( )

a2

5

323 23

2

D.2

y2

3.设F1,F2是双曲线x-=1的两个焦点,P是双曲线上的壹点,且3|PF1|=4|PF2|,则

24△PF1F2的面积等于( )

A.42

B.83

C.24 D.48

x22

4-y=1(a>0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为________________.

a

5.已知F1(0,-5),F2(0,5),壹曲线上任意壹点M满足|MF1|-|MF2|=8,若该曲线的壹条渐近线的斜率为k,该曲线的离心率为e,则|k|·e=________.

典型例题分析

考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1:运用双曲线的定义

例1、已知定点A(0,7)、B(0,-7)、C(12,2),以C为壹个焦点作过A、B的椭圆,求另壹焦点F的轨迹方程.

例2、某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了壹声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同壹平面上)

【解题思路】时间差即为距离差,到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的.

变式练习1、

x2

1、在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-6,0)和C(6,0),若顶点B在双曲线

25sin A-sin Cy2

-1的左支上,则________. 11sin B

y2

1上的壹点F1、F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|:|PF2|=3:2,2、设P为双曲线x12

2

则△PF1F2的面积为

A.6

( )

C.3

D.24

B.12

x2y2

1的左 3、如图2所示,F为双曲线C:

916

焦点,双曲线C上的点Pi与P7ii1,2,3关于y轴对称,

则P1FP2FP3FP4FP5FP6F的值是( ) A.9 B.16 C.18 D.27

x2y2

4、 P是双曲线221(a0,b0)左支上的壹点,F1、F2分别是左、右焦点,且焦距

ab

为2c,则PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为( ) (A)a

题型2 求双曲线的标准方程:

例3、根据下列条件,求双曲线方程:

x2y2

(1)-1有共同的渐近线,且过点(-3,23);

916x2y2

(2)1有公共焦点,且过点2,2).

164

(B)b

(C)c

(D)abc

y2x2

例4、已知双曲线C与双曲线-=1有公共焦点,且过点(32,2).求双曲线C的

164

方程.

变式练习2、

1、(1)若双曲线的渐近线方程为y=±3x,它的壹个焦点是10,0),求双曲线的方程; 4

(2)已知双曲线的渐近线方程为y=x,并且焦点都在圆x2+y2=100上,求双曲线的方程.

3

2、已知双曲线的渐近线方程是y,焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线的方程为 ;

3、以抛线y28x的焦点F为右焦点,且两条渐近线是x3y0的双曲线方程为___________________.

4、已知点M(3,0),N(3,0),B(1,0),动圆C与直线MN切于点B,过M、N与圆C相切的两直线相交于点P,则P点的轨迹方程为

x2

y2y22

1(x1) B.x1(x1) A.x88

2

y2y22

1(x > 0) D.x1(x1) C.x810

2

考点2 双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围

x2y2

例5、已知双曲线221,(a0,b0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的

ab

右支上,且|PF1|4|PF2|,则此双曲线的离心率e的好大值为

变式练习3、

4x2y2

1的壹条渐近线方程为yx,则该双曲线的离心率e为 1、已知双曲线

3mn

x2y2

2、已知双曲线221(a0,b0)的右顶点为E,双曲线的左准线与该双曲线的两

ab

渐近线的交点分别为A、B两点,若∠AEB=60°,则该双曲线的离心率e是( )

题型2 与渐近线有关的问题

A.51 B.2 C.1或2 D.不存在

22

x2y2

例6、若双曲线221(a0,b0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长,则双曲线的

ab

离心率为 ( ) A.2

B.

C. D.2

变式练习4、

x2y2

1、双曲线1的渐近线方程是.( )

49243

A. yx B. yx C. yx

392

9

D. yx

4

x2

2、焦点为(0,6),且与双曲线y21有相同的渐近线的双曲线方程是 ( )

2

A.

y2x2y2x2x2y2x2y2

1 B.1 C.1 D.1

1224241224121224

例5、中心在原点,焦点在x轴上的壹椭圆与壹双曲线有共同的焦点F1,F2,且F1F2=,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为3∶7.

(1)求这两曲线方程;

(2)若P为这两曲线的壹个交点,求cos∠F1PF2的值.

变式练习3、

x2y2

1、如图,已知F1、F2为双曲线1 (a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交

ab双曲线于点P,且∠PF1F2=30°,

求:(1)双曲线的离心率;(2)双曲线的渐近线方程.

类型四、直线与双曲线的位置关系:

x2y2

例6、过双曲线1的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,O为坐

36标原点,F1为左焦点.

(1)求AB;

(2)求△AOB的面积;

(3)求证:AF2+BF2=AF1+BF1.

变式练习5、

1、直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B. (1)求实数k的取值范围;

(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.

综合练习

1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为2,0

,右顶点为(Ⅰ)求双曲线C的方程

(Ⅱ)若直线l:ykxA和B且OAOB2(其中O为原点),求k的取值范围

.

2、已知直线yax1与双曲线3x2y21交于A、B点。

(1)求a的取值范围;

(2)若以AB为直径的圆过坐标原点,求实数a的值; (3)是否存在这样的实数a,使A、B两点关于直线y

请求出a的值;若不存在,说明理由。

1

x对称?若存在, 2

x2y2

3、已知双曲线C:221(a0,b0)的两个焦点为F1,F2,点P是双曲线C上的

ab

. 壹点,

1PF20(1)求双曲线的离心率e;

(2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P1OP21,P2两点,若OP

27

,4

2PP1PP20,求双曲线C的方程.

1.已知双曲线的渐近线为y=3x,焦点坐标为(-4,0),(4,0),则双曲线方程为( )

x2y2

-1 412x2y2

1 248

x2y2

B.1 24x2y2

D.=1 824

x2y2

解析:选A 由题意可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),由已知条件可得

ab

bba3,a3,即 c=4,a2+b2=42,

2

a=4,x2y2

解得2故双曲线方程为-1.

412b=12,

2.若双曲线过点(m,n)(m>n>0),且渐近线方程为y=±x,则双曲线的焦点( )

A.在x轴上

B.在y轴上

D.无法判断是否在坐标轴上

C.在x轴或y轴上

解析:选A ∵m>n>0,∴点(m,n)在第壹象限且在直线y=x的下方,故焦点在x轴上.

y2

3.已知m是两个正数2,8的等比中项,则圆锥曲线x+=1的离心率为( )

m

2

35或 22

2

B.D.

3

23

或 5 2

5

a-bc

解析:选D ∵m=16,∴m=±4,故该曲线为椭圆或双曲线.当m=4时,eaaa+b3c

=.当m=-4时,e=5. 2aa

4.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )

A.3 3

B.2 2

c解析:选B 设焦点为F(±c,0),双曲线的实半轴长为a,则双曲线的离心率e1=,椭圆的

ace离心率e2=,所以2

2ae2

x2y25

5.已知P是双曲线1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是其焦点,双曲线的离心率是ab4且PF1,·PF2,=0,若△PF1F2的面积为9,则a+b的值为( )

A.5 C.7

B.6 D.8

解析:选C 由PF1,·PF2,=0得PF1,⊥PF2,,设|PF1,|=m,|PF2,|=n,不妨设m

a=4,1c5

>n,则m+n=4c,m-n=2a,mn=9,,解得∴b=

3,∴a+b=7.

2a4c=5,

2

2

2

6.平面内有壹固定线段AB,|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,O为AB中点,则|OP|的好小值为( )

A.3 3 2

B.2 D.1

解析:选C 依题意得,动点P位于以点A,B为焦点、实轴长为3的双曲线的壹支上,结合图可知,该曲线上与点O距离好近的点是该双曲线的壹个顶点,因此|OP|的好小值等3于2

7.若双曲线x2-ky2=1的壹个焦点是(3,0),则实数k=________.

解析:∵双曲线x2-ky2=1的壹个焦点是(3,0), 11∴132=9,可得k=.

k81答案:8

x2y2x2y2

8.已知双曲线C1:=1(a>0,b>0)与双曲线C2:-1有相同的渐近线,且C1

ab416的右焦点为F(5,0),则a=________,b=________.

x2y2b

解析:双曲线-1的渐近线为y=±2x,则=2,即b=2a,又因为c=5,a2+

416ab2=c2,所以a=1,b=2.

答案:1 2

x2y2a222

9.过双曲线1(a>0,b>0)的左焦点F作圆x+y=的切线,切点为E,延长FE

ab4交双曲线右支于点P,若E为PF的中点,则双曲线的离心率为________.

解析:设双曲线的右焦点为F′.由于E为PF的中点,坐标原点O为FF′的中点,所a

以EO∥PF′,又EO⊥PF,所以PF′⊥PF,且|PF′|=2×=a,故|PF|=3a,根据勾股定

2理得|FF′|=a.答案:

10 2

a=2a2

10.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,2,且过点(4,-10).点M(3,m)在双曲线上.

(1)求双曲线方程; (2)求证:MF1·MF2=0.

解:(1)∵e2,∴可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0). ∵过点(4,-10),∴16-10=λ,即λ=6.

x2y2

∴双曲线方程为-=1.

66

(2)证明:由(1)可知,双曲线中a=b6,∴c=3,

∴F1(-3,0),F23,0), mm

∴kMF1kMF2=,

3+233-3m2m2

kMF1·kMF2=39-12

∵点(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3, 故kMF1·kMF2=-1,∴MF1⊥MF2. ∴MF1·MF2=0.

11.已知双曲线的方程是16x2-9y2=144.

(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;

(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|·|PF2|=32,求∠F1PF2

的大小.

x2y2

解:(1)由16x-9y=144得-1,

916

2

2

所以a=3,b=4,c=5,

54

所以焦点坐标F1(-5,0),F2(5,0),离心率e=,渐近线方程为y=.

33(2)由双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=6, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

cos ∠F1PF2=

2|PF1||PF2||PF1|-|PF2|2+2|PF1||PF2|-|F1F2|2=2|PF1||PF2|=

36+64-100

0,

64

则∠F1PF2=90°.

x2y2

12.如图,P是以F1、F2为焦点的双曲线C:-=1上的壹点,

ab

PF2=0,且|PF1|=2|PF2|. 已知PF1·

(1)求双曲线的离心率e;

(2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P1,P2两点,27

OP242PP1+PP2=0.求双曲线C的方程. 若OP1·

PF2=0,解:(1)由PF1·得PF1⊥PF2,即△F1PF2为直角三角.设|PF2|=r,|PF1|

=2r,所以(2r)2+r2=4c2,2r-r=2a,即5×(2a)2=4c

2.所以e=5.

b

(2)e-1=2,可设P1(x1,2x1),P2(x2,-2x2),P(x,y), a27

OP2=x1x2-4x1x2=-4 则OP1·9

所以x1x2.①

4由2PP1+PP

x2-x=-2x1-x,

2=0,得

-2x2-y=-22x1-y,

2x1+x222x1-x2x2y2

即x=,y=.又因为点P在双曲线=1上,

33ab2x1+x2242x1-x22

=1.

9a9b9

又b2=4a2,代入上式整理得x1x2=a2.②

8由①②得a2=2,b2=8. x2y2

故所求双曲线方程为

1.

28

1.(2012·长春模拟)设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率,P是两曲线的壹个公共点,且满足|PF1,+PF2,|=|F1F2,|2

2

B.2 D.1

ee的值为( ) e+e12

2

解析:选A 依题意,设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,不妨设m>n.则由|PF1,+PF2,|=|F1F2,|得|PF1,+PF2,|=|PF2,-PF1,|=|PF1,-PF2,|,即|PF1,+PF2,|2=|PF1,2c2c11

-PF2,|2,所以PF1,·PF2,=0,所以m2+n2=4c2.又e1=m+n,e2=m-ne+e122m2+n2ee24ce1+e2

12+e2e1

x2y2

2.已知双曲线1(a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),点(1,0)到直线

ab4

l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和sc,则双曲线的离心率e的取值范围为________.

5

xy

解析:由题意知直线l的方程为=1,即bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式得,

ab点(1,0)到直线l的距离d1=

ba-1

ba+1

,同理得,点(-1,0)到直线l的距离d=,s=d12

a+ba+b

+d2=

2ab2ab42ab4

.由s,得≥,即5c-a≥2c2. c5c5a+b

5

所以e-1≥2e2,即4e4-25e2+25≤0,解得e2≤5.

4由于e>1,所以e的取值范围为 答案:

5 2

5 .

2

x2y2

3.设A,B分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为4,焦

ab点到渐近线的距离为 (1)求双曲线的方程; (2)已知直线y=

-2与双曲线的右支交于M、N两点,且在双曲线的右支上存在点3

D,使OM,+ON,=tOD,,求t的值及点D的坐标.

b

解:(1)由题意知a=3,故壹条渐近线为yx,

2即bx-23y=02

|bc|

3, b+12

x2y2

得b=3,故双曲线的方程为1.

123(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0), 则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0,

将直线方程代入双曲线方程得x2-3x+84=0, 则x1+x2=3,y1+y2=12, 43xy3则xy

12-3=1,

022

x0=3,得 y0=3,

故t=4,点

D的坐标为3,3).

x22

1.直线x=2与双曲线C:-y=1的渐近线交于E1,E2两点,记OE1,=e1,OE2,=e2,

4任取双曲线C上的点P,若OP,=ae1+be2,则实数a和b满足的壹个等式是________.

2a+2b=x0,

解析:可求出e1=(2,1),e2=(2,-1),设P(x0,y0),则则(a+b)2-(a

a-b=y0,

1

-b)2=1,得ab=4

1

答案:ab=4

x2y2

2.已知双曲线=1的左,右焦点分别为F1、F2,过点F2作与x轴垂直的直线与双曲

abπ

线壹个交点为P,且∠PF1F2=,则双曲线的渐近线方程为________________.

6

bbπ2bc,,则|PF2|=,又∠PF1F2=|PF1|=解析:根据已知得点P的坐标为aa6a2b2b2b2b

故2a,所以22,所以该双曲线的渐近线方程为y=2x. aaaa

答案:y=2x

3.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(3,0).

(1)求双曲线C的方程;

(2)若直线l:y=kx+2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且OA―→,·OB―→,>2(其中O为原点),求k的取值范围.

x2y2

解:(1)设双曲线C的方程为-1(a>0,b>0),

ab由已知得a3,c=2,再由c2=a2+b2得b2=1, x22

所以双曲线C的方程为-y=1.

3x22

(2)将y=kx+代入y=1,

3

整理得(1-3k2)x2-2kx-9=0,

2

2

2

1-3k≠0,

由题意得

Δ=6k2+361-3k2=361-k2>0,

1

故k2≠且k2<1,①

3

6k

设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+xB

1-3k-9

xA·xB

1-3k2

OB,>2得xAxB+yAyB>2, 由OA,·

又xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+kxB+=(k2+1)xAxB+2k(xA+xB)+2

-93k2+762k

=(k+2k+2=,

1-3k1-3k3k-1

2

3k2+7-3k2+9

于是2>0,

3k-13k-1

1

解不等式得k2<3,②

31

由①②得<k2<1,

3所以k的取值范围为-1,-

3∪1. 33

范文五:双曲线概念性质

双曲线概念几何性质壹览表 (制表

概念性质 定义 1

张雅君 2012.6.25) 备注 2a2c 时无轨迹 o1 是双曲线

焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 在平面内到两个定点 F1(-c,o)、F2 (c,o) 的 距离的差的绝对值等于常数 2a (小于 F1 F 2 )点的轨迹叫做双曲线. 定点 F1(-c,o)、F2 (c,o)叫焦点 F1 F 2 叫焦距 动点 P(x,y)到定点 F(c,o)的距离和它到定直线 x= a2 /c 的距离的比等于常数 c/a(c>a>0)点的轨迹叫做双曲线。定点 F(c,o)叫焦点.定直线 x= a2 /c 叫准线

定义 2

渐近线

y=±

b a

x

y=±

a b

x

b a

= e 1

2

e= 1 

b a

2 2

标准方程

x a

2 2

y b

2 2

 1 (a>0 b>0)

y a

2 2

x b

2 2

 1 (a>0 b>0)

正项的分母是 a2 负项的分母是 b2

正项的分母是 a2 负项的分母是 b2

顶点坐标 焦点坐标 实、 虚轴长 焦距 对称性 离心率 范围 准线方程 a b c 关系 焦准距 准线距 焦点弦长 通径长

(±a,0) F(±c,0) 实轴长 2a 关 于 x 轴 e=c/a |x|≥a x=±a2 /c c = a +b b /c 2a |AB| =2a+ e(x1+x2 ) 左加 |AB| =2a- e(x1+x2 ) 右减 2b2 /a |PF 左|=| e xo+ a| | |PF 右|=| e xo- a | |PF

上|=| 2 2 2 2 2

(0,±a) F(0,±c) 虚轴长 2b 2c y 轴 和 坐 标 原 点 对 称

1共焦点 F(c,o) 设方程为 x2/a2-y2/(c2-a2)=1 (c>a>0) 2离心率相同可设方程为 x2/a2-y2/ b2=λ (λ >0) 3焦点在 x 轴或 y 轴不定可设 mx2+ny2=1(mn

4 焦点始终在实轴上

不论焦点在 x 轴上还是焦点在 y 轴 上长轴长、短轴长、焦距和对称性 都不变 离心率表达双曲线开阔程度 e 越大双曲线越开阔 在 x=±a 两条直线外侧 在 y=±a 两条直线外侧

( e>1) |y|≥a y=±a2 /c

准线表示和焦点所在轴相同 特征三角(双曲线中 c 大) 焦点到相应准线的距离

两条准线之间的距离

/c |AB|=2a+ e(y1+y2 ) 上减 |AB|=2a- e(y1+y2 ) 下加

焦点在 x 轴左加右减 焦点在 y 轴上减下加

过焦点垂直于长轴的弦 左左加右减加右减 1 实轴顶点与焦点的距离: eyo- a | |PF 下|=|a+eyo| p 点在下支相反

好大值是 c+a 好小值是 c-a 上减下加 2 以 x2 /a2 + y2 /b2 =1(a>b>o)顶点 为焦点焦点为顶点双曲线方程是 左加右减 x2 /(a2 –b2)–y2 /b2 =1

焦半径

左加右减

p 点在右支不变 p 点在左支相反

上减下加 p 点在上支不变

S△ P F F

1

2

b2 cotθ /2 (xo , ±

b a x0  a

2 2

PF 1

PF 2 =2b /(1-cosθ )

2

双曲线上点

横纵坐标

)

( ±

a b

b

2

 y 0 , yo)

2

中点弦斜率:K=b2 xo / a2 yo θ 为两条焦半径的夹角 其中(xo,yo)是双曲线内的点

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